Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет, собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью.

где, а — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dA; А — площадь поперечного сечения бруса.

Произведение о • dA = dN представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dA.

Значение продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем разделе. Для нахождения же напряжений, а в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой а).

Выражение (9.1) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений о (например, при эпюрах а, изображенных на рис. 9.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса проводят эксперименты.

Если поперечное сечение перпендикулярно оси бруса, то при растяжении и сжатии нормальные напряжения распределены по поперечному сечению равномерно, т. е. а = const. Это позволяет в выражении (9.1) вынести о за знак интеграла. Таким образом,.

откуда

Рис. 9.2. Виды эпюр напряжений:

а — прямоугольная; б — вогнутая; в — выпуклая.

Рис. 9.3. Определение напряжений в наклонных плоскостях.

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Для нормальных напряжений принимают знаков, как и для продольных сил, т. е. при растяжении нормальные напряжения считают положительными, при сжатии — отрицательными.

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса. Обозначим через, а угол между наклонным сечением п—п_г и поперечным сечением п—п₂ (см. рис. 9.3, а). Угол, а условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением нужно повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением п—п₁ (см. рис. 9.3, б). Из условий ее равновесия следует, что напряженияр параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила рА_а, действующая в сечении п—п_ь равна Р. Здесь А_а — площадь наклонного сечения п — п_ь равная Л/cos, а (где А — площадь поперечного сечения п—п₂ бруса).

Следовательно,.

откуда.

где Р/А = о — нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение р на два составляющих напряжения: нормальное о_а, перпендикулярное плоскости сечения п—п_ь и касательное т_а, параллельное этой плоскости (рис. 9.3, в).

Значения о_а и т_а получим из выражений.

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 9.3, в напряжения о_а и т_а положительные.