Общая характеристика задач электростатики и методов их решения

В зависимости от того, что задано и что определяют, задачи электростатики можно подразделить на три типа.

Задача первого типа. По заданному закону распределения потенциала в пространстве q>(x, у, г) найти распределение свободных зарядов, вызвавших поле. Такого рода задачи можно решать с помощью уравнения Пуассона. Эго наиболее простой типзадач; -а_ско5 /е_а в данной точке поля согласно уравнению Пуассона равняется сумме частных производных второго порядка от <�р, в которую подставляют координаты данной точки поля. Одна из задач первого типа рассмотрена в примере 193.

Близкой к задачам первого типа является задача, в которой известно выражение для потенциала <�р как функции координат и требуется найти распределение поверхностных или линейных зарядов, создающих поле, когда объемные заряды в поле отсутствуют. Если заряды расположены на поверхности проводящих тел, то в соответствии с формулой (19.33) плотность заряда о = еЕ", где Е" = - Эф /дп. Индекс п означает направление, нормальное к поверхности тела.

Задача второго типа. Задан закон распределения свободных зарядов в пространстве в функции координат р_сво6 (к, У, *). Найти закон изменения в пространстве <�р (х, у, г). Эта задача является обратной по отношению к первой и значительно сложнее ее. Принципиально задача состоит в решении уравнения Пуассона относительно ер, т. е. в решении дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. Задачи второго типа рассмотрены в примерах 188−189.

Задачи первого и второго типов практически встречаются редко, чаще имеют дело с задачами третьего типа.

Задача третьего типа. Известны потенциалы (или полные заряды) и геометрия тел, создающих поле. Требуется найти закон изменения Е или (р во всех точках поля. Несколько задач третьего типа рассмотрены в § 19.37−19.40 и в примерах 181, 187, 194.

Если среда, в которой создано поле, является неоднородной, то ее подразделяют на однородные области и решение уравнения Лапласа производят для каждой области отдельно. Основная трудность состоит в том, что хотя полные заряды тел и известны, но плотность распределения зарядов на отдельных участках заряженного тела неизвестна. Решения уравнения Лапласа для отдельных областей должны быть согласованы друг с другом: на границе раздела двух сред с различными е_а должны выполняться граничные условия. На границе раздела проводящего тела и диэлектрика также должны выполняться свои граничные условия.

Задачи третьего типа можно решать аналитически, графически, либо путем моделирования. В данном параграфе приведена лишь краткая характеристика этих методов. Подробное изложение их дано в дальнейшем на конкретных примерах.

В простых случаях задачи аналитического расчета полей решают с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме (см. § 19.13). В более сложных случаях аналитическое решение задач третьей группы выполняют, используя уравнение Лапласа.

Аналитические методы решения задач третьей группы можно подразделить на две подгруппы. В первой производят интегрирование уравнения Лапласа без использования вспомогательных (искусственных) приемов. Во второй применяют искусственный прием — метод зеркальных изображений'¹.

По методу зеркальных изображений решение проводят путем введения вспомогательного заряда или зарядов, которые в расчетном отношении заменяют связанные заряды, выявившиеся на границе тел или сред в результате их поляризации или электростатической индукции (см. § 19.30−19.33).

В тех случаях, когда потенциал <�р является функцией только одной координаты выбранной системы координат, уравнение Лапласа из уравнения в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое интегрируется без затруднений (см. примеры 186−187).

Если же потенциал <�р является функцией двух или трех координат, для того чтобы проинтегрировать уравнение Лапласа применяют метод Фурье, позволяющий перейти от уравнения в частных производных к эквивалентной ему совокупности .йух или соответственно трех обыкновенных дифференциальных уравнений (см. § 19.39).

Графический метод анализа и расчета задач третьей группы представляет собой метод, в котором по определенным правилам строят семейство силовых и эквипотенциальных линий, используя некоторые заранее известные свойства исследуемого поля. Эти правила практически одни и те же для всех неизменных во времени полей, т. е. для электростатического поля, электрического поля постоянного тока в проводящей среде (см. гл. 20) и для магнитного поля постоянного тока (см. гл. 21).

В основу анализа и расчета электростатических полей методом моделирования положена аналогия между электростатическим полем и электрическим полем постоянного тока в проводящей среде. Метод моделирования основан на сопоставлении задач электростатики и сходной задачи на электрическое поле постоянного тока в проводящей среде, в которой совокупность силовых и эквипотенциальных линий практически такая же. Это дает возможность воспользоваться результатами экспериментального исследования поля в проводящей среде при решении родственной электростатической задачи. Подробнее об этом говорится в § 24.7−24.9. Следует заметить, что при расчетах полей широко применяют метод наложения.

В заключение отметим, что в задачах электростатики расчет можно производить для определения либо точечной характеристики поля (напряженности или потенциала в заданной точке), либо интегральной характеристики данного поля, например, емкости или разности потенциалов.

В приложениях И, К, Л, М, Н к ч. III рассмотрены основные положения ряда аналитических методов расчета полей, которые рекомендуется.

" 'См. также метод конформных преобразований в приложении М.

изучить студентам специальностей ТВН, электронной техники, электрических машин и аппаратов и др.

Перейдем к рассмотрению некоторых простейших электростатических задач.

Рис. 19.13.