Обработка прямых многократных равноточных измерений

Проверка гипотезы о равноточности результатов измерений рассмотрена в 7.3.

Многократные измерения проводятся, как правило, для уменьшения влияния случайных погрешностей. Результат каждого измерения при этом дает оценку измеряемой величины.

Результат наблюдения отличается от истинного значения измеряемой величины из-за наличия случайной Ди систематической Дс составляющих погрешности.

Если систематическая погрешность результата измерений известна, то вводят поправки.

Подставив (7.12) в (7.13), получим.

Таким образом, задача сводится к установлению оценки х =/(х). Если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то, как уже отмечалось, оптимальной оценкой распределения^{является} среднее арифметическое результатов измерений:

В общем случае алгоритм обработки результатов измерений сводится к следующему.

• 1. Исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности. Если известно, что все результаты наблюдений имеют одинаковую систематическую погрешность, ее исключают из результата измерений.
• 2. Если есть подозрение о наличии грубых погрешностей, то их исключают из результатов измерения, используя критерии, приведенные в 6.2.
• 3. Вычисляют среднее арифметическое X исправленных результатов наблюдений.
• 4. Вычисляют оценку среднего квадратичного отклонения результата измерений по формуле

5. Рассчитывают оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического значения по формуле.

6. Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению.

При числе результатов измерений п > 50 для проверки этой гипотезы используют критерий от или х~<

Если 15 < п < 50, то используют составной критерий (ГОСТ 8.207;

76).

При п < 15 гипотеза о нормальности распределения не проверяется. В этом случае предполагается, что вид закона распределения известен заранее. Обработка результатов измерения при п< 15 (см. п. 6.5).

• 6.1. Проверка гипотезы с помощью критерия².
• 6.1.1. Определяют наименьшее дгт (п и наибольшее хт;С (значения результатов измерений.
• 6.1.2. Определяют размах варьирования Я

6.1.3. Определяют количество интервалов, на которое следует разбивать совокупность результатов измерений по формуле.

где тг.() обозначает целую часть числа (округление осуществляется в большую сторону). 6.1.4. Определяется цена деления интервала с.

Цена деления с должна быть больше цены деления прибора, с помощью которого производились измерения. 6.1.5. Данные измерений группируют по интервалам и под;

7.1. Вычисления без применения ЭВМ

считывают частоты тг Если в некоторые интервалы попадает меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединяют с соседними интервалами. 6.1.6. Для каждого интервала определяется вспомогательная величина /, по формуле.

6.1.7. Определяется плотность нормированного распределения по формуле.

или по таблицам нормированного нормального распределения.

6.1.8. Определяют теоретическую частоту ты в середине каждого интервала по формуле.

6.1.9. Для каждого интервала определяют значение % 2 по формуле.

(Если интервалы объединялись, то т, и тт1 берется для объединенного интервала.) 6.1.10. Определяется значение критерия х~ суммированием значений х].

При обработке результатов измерений без применений ЭВМ расчеты удобно вести в соответствии с табл. 7.1.

• 6.1.11. Определяется число степеней свободы к = г — 3. Если интервалы объединялись, то число степеней свободы уменьшается. Под г в таком случае понимается количество интервалов с учетом объединения.
• 6.1.12. Задаются уровнем значимости, а = 0,05; 0,1; 0,2 и т. д., определяют табличные значения у2 п и у2 «.Если выполняется условие

то распределение результатов измерений считают нормальным.

6.2. Проверка гипотезы с помощью составного критерия. 6.2.1. Определяется отношение с1:

• 6.2.2. Выбирают уровень значимости критерия (обычно 0,02 < я, < 0,1 или в % 2 < о, < 10).
• 6.2.3. Определяют теоретические значения критерия йЦу и й ^

У 1~2 по следующим формулам:

формулы справедливы для (И < п < 50). 6.2.4. Гипотеза о нормальности по критерию й принимается, если <1 я <�й<�й. В противном случае отвергается.

6.3. Критерий 2 введен дополнительно для проверки «концов распределения». Считается, что результаты наблюдений соответствуют нормальному распределению, если не более т разностей ^-Л^ превзойдет значение 1РГДХ, где гр/2 — квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности Р/2. Вероятность Р определяется по п и как корень уравнения.

Для нахождения Р по заданным п и д составлена табл. 7.2. При 10 < п < 20 следует принимать т = 1, а при 20 < п < 50 следует принимать т = 2.

6.3.1. Гипотеза о нормальности принимается, если число разностей, больших tPnSx, не превышает т.

Тогда /,>, Д = 2,5807−0,206 — 0,5316.

При д ~ 0,02 и п ~ 16 из табл. 7.2 находим т {т~ I). Если ни одно (ш — I) из значений |дг, — X | ряда измерений не превышает 0,5316, то гипотеза о нормальности распределения принимается.

6.4. Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы измерений выполняются оба критерия.

Уровень значимости составного критерия ц = я, + <�уэ, где Я — Уровень значимости для критерия I ((/-критерия); д2 — то же, для критерия 2.

6.5. Проверка гипотезы о законе распределения при малом числе измерений (10 < п < 15).

При малом числе наблюдений для оценки нормальности пользуются статистической функцией распределения результатов наблюдений. Для ее построения полученные в ходе измерения результаты группируют в вариационный ряд, т. е. располагают члены ряда в порядке возрастания:

Статистическую функцию распределения Дх,) определяют по формуле.

График функции /^(х,) представляет собой ступенчатую линию, скачки которой соответствуют значениям вариационного ряда. Каждый скачок равен^-у, если все п членов ряда различны. Если же для некоторого х1 + х^, = … = х^к, то /" (х,) в точке х = х, возрастает наг, где к — число равных между собой членов ряда.

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений находят значения /, соответствующие значениям /^(х,) статистической функции распределения /o" (/,), т. е. Р (х)) = /" (/,):

Рис. 7.1. Графическая проверка гипотезы о законе распределения.

Но переменная / может быть определена через результаты наблюдений как/,.=-*- и, если по точкам с координатами х, /, построить график, то при нормальном распределении точки располагаются практически на одной прямой линии (рис. 7.1). Если же в результате построения графика точки существенно отклоняются от прямой линии, то гипотезу о нормальности распределения отвергают, как противоречащую опытным данным.

• 7. Находят доверительную погрешность результата измерений и доверительный интервал для среднего квадратичного отклонений.
• 7.1. Нахождение доверительных интервалов при известной точности измерений. Если заранее известна средняя квадратичная погрешность л**, то доверительный интервал имеет вид

Значение /= /Определяется по заданной доверительной вероятности />из условия 2Ф (/) = Р.

7.2. Нахождение доверительного интервала при неизвестной точности измерений. В этом случае используют распределение Стьюдента. Доверительный интервал принимает вид.

где к = п — I, а множитель гР (к) зависит от доверительной вероятности Р и числа измерений п. Уровень значимости, а = I — Р.

Значение множителя можно определить по формулам (5.69) — (5.71).

Пример. В результате 10 измерений получены следующие результаты: X = 36,06, среднее квадратичное отклонение 5, — 0,25. Вычислить доверительные границы интервала, в котором находится действительное значение величины хс доверительной вероятностью Р — 0,99.

Решение. Число степеней свободы к = п — 1 = 10- 1 = 9.

По формуле (5.71) определим множитель гр (к). В данном случае — /0ЛЛ:

Значение величины д' будет находиться в диапазоне 36,06 — 0,2706 < л* < 36,06 + 0,2706, т. е. 35,789 < х < 36,331.

7.3. Нахождение доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности.

Для нахождения доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности используют распределение х1 (уравнения (5.83) — (5.93)). 7.3.1. Определяют Рь и Р" по формулам:

• 7.3.2. Определяют число степеней свободы по формуле к = п — I.
• 7.3.3. Для полученных значений Рл и Рн по уравнениям
• (5.83) — (5.93) находят соответственно значения³ и у
• 7.3.4. Определяют доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения

Пример.

В результате 10 измерений получено значение 5, = 1,3. Требуется определить доверительный интервал для 5^с вероятностью 0,90.

Решение. Определим Р = - = ' * 0,90 = 0,95 и Ри = - = -^9- = 0,05.

в 2 2 «22.

Число степеней свободы к — п — 1 = 10- 1=9. По уравнению (5.85) находим х *.

а по уравнению (5.91) находим %2.

^- ^10−1.

тогда -.—1,3<<�т0 <-г-Л, 3, т. е. истинное значение 5 с вероятностью 0,90 будет.

VI 6,891 73,325 находиться в интервале |0,9489 < ^" < 2,1388).

8. Определяют границы в неисключенной систематической погрешности. Если известно, что погрешность результата измерений определяется рядом составляющих неисключенных систематических погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные границы, то при неизвестных законах распределения их границы суммарной погрешности находят по формуле.

где т — число неисключенных систематических составляющих погрешностей результата измерения; к — коэффициент, принимаемый равным 1,1 при доверительной вероятности Р= 0,95 и зависящий от числа составляющих неисключенных систематических погрешностей.

9. Определяют соотношение -.

Если -< 0,8, то неисключенными погрешностями пренебрегают и в качестве границы погрешности результата измерения принимают д = ±1*4*2*1.

Если — > 8, то пренебрегают случайной погрешностью и считают, что Д = в.

Если 0,8 <- < 8, то при определении погрешности необходимо учитывать и случайную и систематическую составляющую.

10. Определяют границу погрешности результата измерений по формуле.

11. Представляют результат измерения и погрешности для случая симметричных доверительных границ в форме X ± Д.

С целью сокращения времени на обработку результатов измерений используется программа $ТАТ_МТК.ВА5.

12. Определение доверительных интервалов, если гипотеза о соответствии нормальному закону распределения отвергается.

Если гипотезу о нормальности распределения отвергают или число измерений п < 15, то проводят проверку симметричности распределения по критерию Вилкоксона в следующем порядке.

12.1. Ряд наблюдений упорядочивают в порядке возрастания.

12.2. Определяют медиану хУ1 по формуле.

12.3. Из каждого члена ряда (7.38) вычитают медиану и образуют упорядоченный ряд из разностей У1 = х,-хи. (7.40).

• 12.4. Отбрасывают разности ;(= 0и упорядочивают оставшиеся т разностей у, по абсолютным значениям с присвоением им рангов. Наименьшее значение получает ранг I, наибольшее — т разностям, равным по значениям, присваивают средний для них ранг. У каждого ранга отмечают знак (положительный или отрицательный), соответствующий знаку разности у,.
• 12.5. Определяют суммы положительных и отрицательных рангов К* и К~ проверяют правильность их вычисления с помощью формулы

12.6. В качестве статистики Д для проверки симметричности используют меньшую из сумм рангов или Д", т. е.

12.7. Гипотезу о симметричности отвергают, если вычисленное значение Я равно или меньше критического значения Я кр (т). Для т < 25 критические значения Я^(т) вычисляют по формуле Я. (т)=-24,8 114 681−0,3 744 255/и+0,206 012 931/иЧ332,5 142 255−1568,', 87?2> 4 т пг.

(7.43).

а для т > 25 их вычисляют по формуле.

• 12.8. Если гипотезу о симметричности распределения принимают, то производят следующие действия.
• 12.8.1. Из членов ряда (7.38) образуют все возможные полусуммы вида

где /' = I, 2, и; j = I, 2, и; k = 1, 2, /V;

12.8.2. Ряд Zk упорядочивают по возрастанию.

12.8.3. В качестве оценки результатов измерения принимают медиану ряда (7.46).

12.8.4. В качестве погрешности результата измерения принимается полуширина доверительного интервала для медианы ряда по формуле.

где 5 и Я — порядковые номера членов из ряда (7.46). Числовые значения 5 и Д определяются по формулам (для Р= 0,95).

• 12.9. Если гипотезу о симметричности распределения отвергают, то производят следующие действия.
• 12.9.1. В качестве оценки результатов измерения принимают медиану ряда (7.39)

12.9.2. В качестве погрешности результата измерения принимается полуширина доверительного интервала для медианы ряда по формуле.

где 5и Л — порядковые номера членов из ряда (7.39). Числовые значения 5 и Д определяются из табл. 7.3.

7.3. Номера членов упорядоченного ряда для определения границ доверительного интервала для медианы при доверительной вероятности (Р = 0,95)

Пример.

В результате измерений получен следующий ряд:

10,416; 10,482; 10,511; 10,782; 10,414; 10,498; 10,564; 10,534; 10,712; 10,401; 10,535; 10,637.

Решение. Упорядочим ряд по возрастанию значений:

10,401; 10,414; 10,416; 10,482; 10,498; 10,511; 10,534; 10,535; 10,564; 10,637; 10,712; 10,782. Определим медиану (п — четное).

Из каждого члена упорядоченного ряда вычтем медиану, получим: -0,1215; -0,1085; -0,1065; -0,0405; -0,0245; -0,0115; 0,0115; 0;0125; 0,0415; 0,1145; 0,1895; 0,2595.

Упорядочим разности в порядке возрастания по абсолютной величине: 0,0115; 0,0115; 0,0125; 0,0245; 0,0405; 0,0415; 0,1065; 0,1085; 0,1145; 0,1215; 0,1895; 0,2595.

Присвоим разностям ранги 0,0115 (I); 0,0115 (2); 0,0125 (3); 0,0245 (4); 0,0405 (5); 0,0415 (6); 0,1065 (7); 0,1085 (8); 0,1145 (9); 0,1215 (10); 0,1895 (II); 0,2595 (12).

Так как первое и второе значения равны, то им присваивается средний ранг.

• 1+2 -= 1,5. С учетом знаков разностей ранги будут соответственно равны:
  • -1,5; 1,5; 3; -4; -5; 6; -7; -8; 9; -10; 11; 12.

Сумма отрицательных рангов /Г =-1,5 — 4 — 5 — 7 — 8- 10 = -35,5. Сумма положительных рангов Л* ~ 1,5+ 3 + 6 + 9+ II + 12 — 42,5.

Критическое значение критерия.

Так как Л> Л^.12) (45,01 > 35,5), то гипотезу о симметричности ряда измерений следует принять.