Обработка результатов неравноточных измерений

Если обработке подлежат ряды измерений, выполненные в разных условиях или разными операторами или в разное время, то для оценки действительного значения измеряемой величины необходимо проверить их на равноточность.

Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из и, и я, результатов измерений, вычисляют эмпирические диспер;

Затем находят дисперсионное отношение /* = Я^/Я1!, которое составляется так, чтобы 5, >

Измерения считаются неравноточными, если Т7 попадает в критическую область, т. е. /*> ^.

Значение Ря для различных уровней значимости ц и степеней свободы ку = п1 — 1 и = п2 — 1 берутся из таблицы критерия Фишера или вычисляются по аппроксимирующим уравнениям.

Для проверки равноточности результатов измерений применяется также критерий Романовского Я Для этого определяют отношение.

Результаты наблюдений считаются равноточными, если Д< 3.

Обработка неравноточных измерений сводится к определению достоверного значения измеряемой величины и оценке воспроизводимости измерений.

Пусть некоторая величина X была измерена многократно различными операторами и в разных условиях. В процессе измерений получены следующие результаты хХУ х, хп со средними квадратичными отклонениями 52, л", то наиболее вероятное значение ^ может быть найдено по формуле.

и1.

Для удобства вычислений по этой формуле вводят веса />, = -,.

где /г — некоторый коэффициент, выбранный таким образом, чтобы отношение^- было близким к единице.

С учетом этого формулу (7.51) можно переписать следующим образом:

Среднее квадратичное отклонение результатов измерений вычисляется по формуле.

а для оценки среднего квадратичного отклонения 5^ весового среднего Хр используется формула.

Если значения не вычислялись, а известны лишь средние значения измеряемой величины в каждой /-Й серии (дг,) и количество наблюдений пп то весовое среднее вычисляется по формуле.

Пример.

Выполнено шесть серий измерений значения размера и получены следующие результаты: значение размера в серии 20,617; 20,666; 20,643; 20,635; 20,629 и 20,654; среднее квадратичное отклонение размера в /-й серии 32; 24; 18; 20; 16; 16.

Решение.

• 1. Выберем значение //'равным, например, 24 (значение среднего квадратичного отклонения во второй серии — 2 и
• 2. Вычислим веса р, по формуле р,=-^-. Получим соответственно: 0,5625; 1;
• 1,778; 1,44; 2,25 и 2,25.
• 3. Вычислим весовое среднее

4. Вычислим среднее квадратичное результатов измерений 5.

5. Вычислим среднее квадратичное отклонение*^ весового среднего по формуле.

6. Результат представим в виде.

Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях значение искомой величины находят на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, полученными прямыми измерениями.

Рассмотрим простейший случай, когда косвенно измеряемая величина является суммой или разностью величин, определяемых прямыми измерениями, т. е.

Так как результаты прямых измерений величин X и У (после исключения систематических погрешностей) включают в себя некоторые случайные погрешности, то формулу косвенного измерения суммы можно переписать в виде.

гдеЛ У — средние арифметические (или средние взвешенные), полученные при обработке результатов прямых измерений величин X и У; АХ, АУ — случайные погрешности средних значений величин X.

и У2 и А2 — оценка истинного значения косвенно измеряемой величины и его случайная погрешность.

Таким образом, из уравнения (7.57) следует, что Z будет равна сумме оценок X иУу, а случайные погрешности АХ и АУ в сумме дадут случайную погрешность АЖ.

Математическое ожидание oцeнки Z равно, очевидно, истинному значению искомой величины:

и ее дисперсия соответственно равна:

Из (7.60) следует, что дисперсия суммы двух слагаемых величин кроме суммы дисперсий этих величин включает еще удвоенное математическое ожидание произведения погрешностей, которое называют корреляционным моментом. Корреляционный момент определяет степень тесноты «линейной» связи между погрешностями. Через корреляционный момент выражается безразмерная величина, получившая название коэффициента корреляции гху.

С учетом формулы (7.61) уравнение (7.60) примет вид.

Если косвенно измеряемая величина является разностью величин, определяемых прямыми измерениями, т. е. Z = Х — У, то.

Если погрешности измерения величин Хи Кне коррелированы, то.

Теоретические дисперсии распределения прямых результатов измерений случайных величин Хи У, как правило, неизвестны. В этом случае оценка дисперсии результата косвенных измерений определяется через оценки дисперсий.

В формуле (7.65) знак плюс соответствует условию Z = X + К, а знак минус условию Z = X — У Оценки коэффициента корреляции вычисляют на основании результатов наблюдений исходных величин:

Значения коэффициента корреляции лежат в интервале — 1 < г"? 1. Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее связь между величинами Хи У.

Если Гю > 0, то имеет место положительная корреляция, т. е. величины Хи К изменяются согласованно в одном направлении — увеличение одной величины влечет за собой увеличение другой.

Если гху< О, то имеет место отрицательная корреляция — увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой. Если гху= О, то величины Хи Кне коррелированы. Если требуется оценить истинное значение величины г, которая связана со многими величинами х, (/' = I, 2, т), измеряемыми прямым способом.

(в общем случае — нелинейным), то поступают следующим образом.

Рассматривая / как функцию т переменных л;, запишем ее полный дифференциал.

Каждая из величин х измерена с некоторой погрешностью Дх,. Полагая, что погрешности Дх, малы, можем заменить ах1 на Ах;.

В выражении (7.69) каждое слагаемое -^-Ах. представляет собой дх, частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью Дх, определения величины х,. Частные производные носят названия коэффициентов влияния соответствующих погрешностей.

Формула (7.69) является приближенной, так как учитывает только линейную часть приращения функции, однако в большинстве практических случаев она обеспечивает удовлетворительную точность оценки погрешностей результатов косвенных измерений.

Систематические погрешности Д" х, если они определены или известны, используются для определения систематической погрешности Ди^с учетом их знаков подстановкой в (7.69).

Эта же формула используется и для определения предельной погрешности косвенно измеряемой величины по предельным погрешностям аргументов.

Рассмотрим оценки случайных погрешностей результатов косвенных измерений. Предположим, что величины х, измерены со случайными погрешностями Дхм имеющими нулевые математические ожидания М (Ах) = 0 и дисперсии <�т2х ¦ Найдем выражения для математического ожидания М (Аг) и дисперсии <�г (Аг) погрешности Д^, принимая во внимание (7.69):

где ги — коэффициенты корреляции погрешностей всех испытаний у и /, кроме /' = /.

Если погрешности Ддг, некоррелированы, то.

В качестве оценки косвенно измеряемой величины принимается величина /Г, значение которой определяется по следующей формуле:

Дисперсия этой оценки определяется по формуле (7.71).

Коэффициенты влияния, приведенные в формулах, в случае нелинейной функции/зависят от значений величин хг Коэффициенты влияния определяются подстановкой в выражение частных производных оценок соответствующих параметров, что является дополнительным источником погрешности. При экспериментальном определении коэффициентов влияния также возникает погрешность их определения.

Пример.

Определить момент инерции круглой платформы, связанный формулой.

со следующими величинами, измеряемыми прямыми способами: Я = (I1,50 ± 0,05) 10″ ! м — радиус платформы; г = (10,00 ± 0,05) Ю" г м — радиус верхнего диска подвеса; / = (233,0 ± 0,2) 10″ ! м — длина нитей подвеса; т — (125,7 ± 0,1) 10″ *' кг — масса платформы; Т~ (2,81 ± 0,01) с — период малых колебаний платформы; g ~ 9,81 м-с" ! — ускорение свободного падения; я= 3,14.

Результаты приведены со средними квадратичными отклонениями.

Решение. Подставляя в исходную формулу средние арифметические значения измеряемых прямыми способами величин и округленные значения постоянных, получим оценку истинного значения моментов инерции платформы:

так как результат должен быть округлен до трех значащих цифр.

Для оценки точности полученного результата вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений:

Таким образом, среднее квадратичное отклонение косвенного измерения момента инерции платформы составит.

Окончательно результат косвенного измерения записывается в виде.