Расчет круговой цилиндрической оболочки по моментной теории c учетом ползучести

Аннотация

В статье приведены общие уравнения моментной теории круговой цилиндрической оболочки с учетом ползучести: статические, геометрические и физические. Решена задача определения напряженно-деформированного состояния оболочки, жестко защемленной в основании, при действии на нее внутреннего гидростатического давления. Задача свелась к линейному неоднородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно прогиба. Решение выполнялось численно методом конечных разностей в программном комплексе Matlab. В качестве закона связи между деформациями ползучести и напряжениями использовалось обобщенное нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Для определения деформаций ползучести применялась линейная аппроксимация первой производной по времени. Произведен расчет оболочки из вторичного ПВХ, и в результате установлено, что в процессе ползучести в оболочке на 15% возрастают окружные напряжения.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, ползучесть, моментная теория, полимеры, метод конечных разностей.

Рассматривается тонкая цилиндрическая оболочка постоянной толщины, жестко защемленная в основании, под действием гидростатического давления (рис. 1). Данная задача является осесимметричной, однако для начала получим общие уравнения ползучести круговой цилиндрической оболочки при ее произвольном нагружении.

При учете ползучести уравнения равновесия, а также геометрические уравнения по сравнению с теорией тонких упругих оболочек не претерпевают изменений. Статическая сторона задачи представлена тремя уравнениями равновесия [1]:

(1).

где — продольные силы; S — сдвигающая сила; - изгибающие моменты; H — крутящий момент;, , — компоненты поверхностной нагрузки.

Геометрические уравнения записываются в виде [1]:

(2).

где — изменения кривизн; - деформации срединной поверхности; - перемещения срединной поверхности соответственно в направлениях x, и, z.

Физические уравнения с учетом ползучести записываются в виде [2,3]:

(3).

где — деформации ползучести.

Выразим из (3) напряжения через деформации:

(4).

Продольные и сдвигающая силы записываются в виде:

(5).

где.

Изгибающие и крутящий момент определяются следующим образом:

(6).

где — цилиндрическая жесткость, .

В общем случае задача определения напряженно-деформированного состояния круговой цилиндрической оболочки сводится к системе из 15 уравнений с 15 неизвестными, решение которой связано с большими математическими трудностями.

Перейдем к расчету с учетом ползучести осесимметрично нагруженной оболочки, показанной на рисунке 1. Ввиду симметрии сдвигающее усилие S и крутящий момент H обращаются в нуль. Из составляющих поверхностных нагрузок отлична от нуля только одна: где г — удельный вес жидкости. Уравнения равновесия (1) с учетом осевой симметрии принимают вид:

(7).

Выражения для изгибающего момента и продольных сил запишутся в виде:

(8).

Выразим из первого уравнения (8) величину :

(9).

Подставив (9) во второе уравнение (8), получим:

(10).

Далее, подставляя (10) и третье равенство из (8) во второе уравнение (7), получим основное разрешающее уравнение:

(11).

Граничные условия имеют вид:

При x = 0:

(12).

Уравнение (11) решается численно методом конечных разностей. Методика определения деформаций ползучести приводится в работах [4−8].

Был выполнен расчет полимерного резервуара из вторичного ПВХ h = 3 см, l = 3 м, R = 2 м, г = 10 кН / м³, E = 1480 МПа, н = 0.3. В качестве закона ползучести использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича [9]. Реологические параметры ПВХ при температуре 20°С: модуль высокоэластичности E_? = 5990 МПа, модуль скорости m* = 12.6 МПа, начальная релаксационная вязкость = 9.06 • 10⁵ МПа • мин [10].

Рис. 2. — График роста максимального прогиба

цилиндрическая оболочка ползучесть полимер

Рис. 3. — Изменение напряжений у_x во времени

На рис. 2 представлен график изменения во времени максимальной величины прогиба. В процессе ползучести произошло увеличение максимального прогиба на 24%. На рис. 3−4 приведено соответственно изменение напряжений у_x и у_и в основании при z = - h/2. Из представленных графиков видно, что напряжения у_x остаются практически постоянными, а напряжения у_и выросли на 15%.

Рис. 4. — Изменение напряжений у_и во времени

Таким образом, расчет оболочки только в упругой стадии приводит к заниженным значениям напряжений, и как следствие возможному ее разрушению в процессе эксплуатации.

• 1. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. 264 с.
• 2. Дудник А. Е., Чепурненко А. С., Никора Н. И., Денего А. С. Плоское деформированное состояние полимерного цилиндра в условиях термовязкоупругости // Инженерный вестник Дона, 2015, № 2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.
• 3. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep // Advanced Materials Research. 2014.Vol. 900. pp. 707−710.
• 4. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004−1005. pp. 257−260.
• 5. Языев Б. М., Чепурненко А. С., Литвинов С. В., Козельская М. Ю. Напряженно-деформированное состояние предварительно напряженного железобетонного цилиндра с учетом ползучести бетона // Научное обозрение. 2014. № 11. С. 759−763.
• 6. Козельская М. Ю., Чепурненко А. С., Литвинов С. В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, № 2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
• 7. Юхнов И. В., Языев Б. М., Чепурненко А. С., Литвинов С. В. Продольный изгиб гибкой железобетонной стойки при нелинейной ползучести // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 5. С. 182.
• 8. Чепурненко А. С., Юхнов И. В., Аваков А. А., Никора Н. И. Устойчивость дюралюминиевой арки при высокотемпературной ползучести // Научное обозрение. 2014. № 10−2. С. 406−410.
• 9. Chepurnenko A.S., Yazyev B.M., Savchenko A.A. Сalculation for the circular plate on creep considering geometric nonlinearity // Procedia Engineering. 2016. Vol. 150. pp. 1680−1685.
• 10. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Beskopylny A.N., Jazyev B.M. Determination of Rheological Parameters of Polyvinylchloride at Different Temperatures // MATEC Web of Conferences. 2016. URL: matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/30/matecconf_smae2016_6 059.pdf.