Кинематический и силовой анализ рычажного механизма

Исходные данные Рычажный механизм Угловая скорость кривошипа щ1=20 рад/с Длины звеньев, м: ОА=0,1; ОС=0,25; СК=0,1; СD=0,2; DЕ=0,35; АS2=0,15; DS4=0,15;.

Массы звеньев, кг: m1=10; m2=8; m3=6; m4=6; m5=5.

Моменты инерции, кг•м2: Js2=0,15; Js3=0,15; Js4=0,10.

Сила полезного сопротивления на рабочем (холостом) ходе Q=500 Н (100 Н).

1. Кинематический анализ Задача кинематического анализа механизма состоит в определении положений, скоростей и ускорений звеньев механизма и различных точек этих звеньев. При этом для исследования движения выходного звена обычно используется метод диаграмм, а для исследования движения каждого звена применяется метод планов или метод координат.

План положений Строим схему механизма в 12-ти положениях способом засечек. Масштабный коэффициент определяем из соотношения:

мL=ОА/{ОА}=0,1/25=0,004 м/мм, где {ОА} - длина изображения кривошипа на чертеже, мм.

Принимаем горизонтальное положение кривошипа (вдоль оси х) за начальное (нулевое) положение.

При построении схемы сначала наносим шарниры О, С и линию направления ползуна. Далее определяем положение точек и, соответственно, звеньев механизма, используя метод засечек.

Строим траектории центров масс звеньев 2 и 4.

Выделяем одно положение, в котором полностью вычерчиваем схему механизма. По плану положений определяем значения перемещения ползуна:

Кинематические диаграммы По данным планам положений строим диаграмму перемещений ползуна S-ц, принимая масштабные коэффициенты:

мs=0,001 м/мм; мц=0,0523 рад/мм Путем графического дифференцирования диаграммы S-ц, получаем диаграмму скорости V-ц. Масштабный коэффициент:

мV=мs?щ1/(мц?ор1)=0,001•20/(0,0523•20)=0,0191 м•с-1/мм.

ор1 — расстояние от полюса дифференцирования, мм.

Аналогично, дифференцируя диаграмму V-ц, получаем диаграмму ускорений а-ц. Масштабный коэффициент:

ма=мv?щ1/(мф•ор2)=0,191•20/(0,0523•20)=0,366 м•с-2/мм План скоростей Из произвольной точки Р — полюса плана откладываем отрезок (ра) длиной 100 мм, направленный как скорость точки А, перпендикулярно звену ОА.

Масштабный коэффициент плана скоростей:

мv=VА/(ра)=щ1?ОА/(ра)=20•0,1/100=0,02 (м/с)/мм Согласно принципу относительности движения, скорость точки К:

VВ=VА+VВА, Причем, вектор VВ перпендикулярен КВ, а вектор VАВ перпендикулярен АК.

Из полюса проводим линию, перпендикулярную КВ, а из конца отрезка (ра) — линию, перпендикулярную АК. Пересечение этих линий дает на плане скоростей точку К, а отрезок (ак) — скорость точки К относительно точки А. численные значения скоростей:

VК=(рк)?мv=42,6•0,02=0,852 м/с

VАК=(ак)?мv=90,47•0,02=1,81 м/с Для определения скорости точки D воспользуемся принципом подобия, согласно которому точки звена расположены подобно соответствующим точкам плана. Это значит, что фигура КАD на схеме механизма подобна фигуре kаd на плане скоростей, (в частности угол КАD равен углу kаd.

Определим скорость точки Е:

VЕ=VD+VЕD,

Вектор скорости Е параллелен направлению ползуна, а вектор относительной скорости точек Е и D перпендикулярен звену DЕ.

Из полюса плана скоростей проводим линию, параллельную направлению ползуна. А из точки (d) — линию, перпендикулярную звену DЕ. Пересечение этих линий дает точку (е), а отрезки (ре) и (dе) соответствуют скоростям VЕ и VЕD. Численные значения скоростей:

VЕ=(ре)•мv=161,47•0,02=3,23 м/с

VЕD=(dе)мv=123,01•0,02=2,46 м/с

Используя принцип подобия, строим на плане скорости центров масс звеньев.

Угловые скорости звеньев:

щ2=VАК/АК=1,81/0,296=6,11 рад/с (-);

щ3=VК/КВ=0,852/0,1=8,51 рад/с (-)

щ4=VЕD/DЕ=2,46/0,35=7,03 рад/с (-)

ЗНАКИ (+/-) соответствуют направлениям скоростей против и по движению часовой стрелки.

План ускорений Ускорение точки А:

аА=аnА+афА, где аnА, афА — нормальная и тангенциальная составляющие.

Поскольку на валу кривошипа укреплен маховик, то вращение кривошипа можно считать приблизительно равномерным. В этом случае тангенциальной составляющей можно пренебречь. Таким образом:

АА=аnА=щ2?ОА=202•0,1=40 м/с2

Из произвольной точки П — полюса плана откладываем отрезок {Па} длиной 100 мм, направленный параллельно звену ОА, как и нормальная составляющая аnА. Масштабный коэффициент плана ускорений:

ма=аА/{Па}=40/100=0,4 (м/с2)/мм ускорение точки К находим по принципу относительности движения, рассматривая два уравнения:

аК=аА+аnАК+афАК;

аК=ас+аkКС+аrКС Ускорения точек, А и С известны (аС=0). Нормальная и кориолиссова составляющая относительных ускорений:

аnКА=щ22?КА=6,112•0,296=11,05 м/с2

аkКС=2щ3?VК=2•8,51•0,852=14,5 м/с2

и направлены соответственно параллельно линии АК и перпендикулярно линии КВ. В свою очередь, тангенциальная и относительная составляющая перпендикулярны указанным выше ускорениям.

Откладываем перпендикулярно звену КВ отрезок {рk}=аkКС/ма=14,5/0,4=36,25 мм и к его концу проводим перпендикуляр; из точки, А откладываем параллельно звену АК отрезок {аn2}=аnКА/ма=11,05/0,4=27,63 мм, и к его концу проводим перпендикуляр. Пересечение этих перпендикуляров дает точку К. Отрезки {kК}, {n2К} соответствуют относительному и тангенциальному ускорениям аrКС и афКС, а отрезок {ПК} - полному ускорению точки К.

Численное значение тангенциальной составляющей:

афКА={n2К}•ма=115,67•0,40=46,27 м/с2

на отрезке {kК} по принципу подобия отмечаем точку s2, соответствующую центру масс звена 2. Отрезок {Пs2} изображает ускорение центра масс.

По принципу подобия находим ускорение точки D, концу вектора которого на плане соответствует точка d. ускорение точки Е:

аЕ=аD+аnЕD+афЕD

вектор аЕ направлен параллельно направляющей ползуна; вектор нармальной составляющей аnЕD направлен параллельно, а вектор тангенциальной составляющей афЕD — перпендикулярно звену ЕD.

Численное значение нормальной составляющей:

аnЕD=щ42?DЕ=7,032•0,35=17,3 м/с2

из полюса плана проводим линию, параллельную направляющей ползуна. Параллельно звену ЕD откладываем отрезок {dn4}= аnЕD/ма=17,3/0,4=43,24, к концу которого проводим перпендикуляр. Пересечение этого перпендикуляра с указанной выше линией дает точку (е). отрезок {Пе} соответствует ускорению точки Е, а отрезок {n4е} - тангенциальной составляющей:

афЕD={n4е}•ма=380,53•0,4=152,2 м/с2

на отрезке {dе} по принципу подобия наносим точку s4, соответствующую центру масс звена 4. отрезок {Пs4} соответствует ускорению центра масс звена 4.

Численные значения ускорений центров масс звеньев:

аs2={Пs2}•ма=91,6•0,4=36,64 м/с2

аs4={Пs4}?ма=196,45•0,4=78,58 м/с2

аЕ={Пе}•ма= 272,45•0,4=108,98 м/с2

угловые ускорения звеньев механизма:

е2=афКА/КА=46,27/0,296=156,32 м/с2(-)

е4= афЕD/DЕ=152,2/0,35=434,86 м/с2(-)

Метод координат Свяжем с механизмом систему координат ХОY. При этом х0=0; у0=0; хс=0,25; ус=0; уравнение направляющей ползуна: уЕ=-0,3; угловая скорость кривошипа с учетом направления вращения щ=-20 с-1. выполним кинематический расчет в положении 11, для которого ц=150є. Координаты точки А:

ХА=ОА•соsц;

YА=ОА•sinц;

Расстояние АС=АВ=

=м Расстояние АК=м Координаты точки К:

Где г=АВК=аrсsin (АК/АС)= аrсsin (0,326/0,341)=72,9є

Координаты точки D:

Где д=ВКD=20є

Координаты точки S2:

Где у=ВКS2=0є

Координаты точки Е найдем с помощью уравнения связи между точками Е и D:

с учетом, что уЕ=-0,3 м координаты точки S4:

Где ж=ЕDS4=0є

Результаты расчета координат точек по приведенным формулам для ц=150є, ц=151є и ц=149є занесены в таблицу:

Таблица координат точек механизма

Проекции скоростей и ускорений точек находим численным методом по формулам:

Vх=(х±х-)•щ1/(2Дц); Vу=(у±у-)•щ1/(2Дц) ах=(х±2х+х-)•щ12/Дц2; ау=(у±2у+у-)•щ12/Дц2;

где Дц=0,0174 рад (соответствует 1 град) значения проекций скоростей и ускорений этих точек механизма сведены в таблицу.

Угловая скорость кулисы щ2=rАКЧVВА/АК2

щ2=[(ХК-ХА)(VКY-VАY)-(YК-YА)(VКх-VАх)]/АК2=

=[(0,23 498-(-0,0866))(-0,0747-(-1,7356))-(0,9 824−0,05)(-0,4713-(- -1,0)])/0,3262=0,278 с-1

Угловое ускорение кулисы е2=rАКЧаКА/АК2

е2=[(Хк-ХА)(аКY-аАY)-(YК-YА)(аКХ-аАХ)]/АК2=[(0,23 498-(-0,0866))(1651,47-(-26,424))-(0,9 824−0,05)(-26,4236−26,4236)]/0,3262=510,11•103 с-2

угловая скорость шатуна щ4=rDЕЧVЕD/DЕ2

щ4=[(ХЕ-ХD)(VЕY-VDY)-(YЕ-YD)(VЕХ-VDХ)]/DЕ2=[(0,5 712−0,37 586)(0- -0,4 655 172)-(-0,30-(-0,15 543))(1,069−0,5 977 011)]/0,352=1,767 с-1

угловое ускорение шатуна е4=rDЕЧVЕD/DЕ2

е4=[(ХЕ-ХD)(аЕY-аDY)-(YЕ-YD)(аЕх-аDХ)]/DЕ2=[(0,5 712−0,37 586)(0- -594,5303) — (-0,30-(-0,15 543))(1347,6021−343,5064)]/0,352=2731,94 с-2

2. Силовой анализ Задача силового (кинетического) анализа состоит в определении усилий, действующих на звенья механизма. К этим усилиям относятся силы тяжести, силы полезного сопротивления, инерционные нагрузки, реакции в кинематических парах.

Силы тяжести определяются как произведение массы звена на ускорение свободного падения. Силы тяжести приложены в центре масс звеньев и направлены вертикально вниз.

Силы полезного сопротивления заданы.

Для определения инерционных нагрузок необходимо, согласно методу теоретической механики, рассчитать ускорение центров масс аsi и угловые ускорения звеньев еi, а затем для каждого звена найти главный вектор сил инерции Фi = -miаsi и главный момент сил инерции Мi = -Jsi?еi .

Реакции в кинематических парах определяются методом кинетостатики, т. е. с помощью уравнений статики, в которые, согласно принципу Даламбера, включаются инерционные нагрузки. При этом расчет проводится отдельно для каждой структурной группы звеньев (группы Ассура), начиная с последней. Это обусловлено тем, что структурная группа является статически определимой системой.

В данном механизме три группы Асура:

— звенья 0, 1 (стойка и кривошип) составляют группу 1-го класса или исходный механизм;

— звенья 2, 3 (кулиса и камень) составляют группу 2-го класса 3-го вида;

— звенья 4, 5 (шатун и ползун) составляют группу 2-го класса 2-го вида.

Метод планов сил Силовой анализ методом планов сил выполняется по группам Асура, начиная с конца механизма.

Определение силы Q

Для определения силы полезного сопротивления строим дополнительные положения механизма при плане положений, которым соответствуют нулевые значения скорости ползуна (см диаграмму v-ц). Совмещаем с крайними положениями ползуна график силы Q, представляющий собой наклонную прямую, с минимальным значением силы в начальном положении и максимальном — в конечном положении механизма. В каждом положении ползуна определяем силу Q:

Строим график Qц.

Группа 4−5

На звенья группы 4,5 действуют силы тяжести:

G4 = m4g= 6•9,81= 58,9Н;

G5 = m5g =5•9,81=49,0Н Сила полезного сопротивления Q -478,62 Н, силы инерции:

Ф4 =m4аs4 = 6•78,58 =471,48 Н;

Ф5 =m5аs5 = 5•78,58 =392,9 Н;

Момент сил инерции 4-го звена

М4 =Js4е4 = 0,1•434,86 =43,49 Нм.

Направления сил инерции противоположны соответствующим ускорениям.

Найдем реакции в кинетических парах.

Из уравнения моментов находим реакцию R05, т. е. усилие, действующее со стороны направляющей (звено 0) на ползун (звено 5):

R05•{LЕ}- (Q-Ф5)•{LD} +G5{LЕ}+G4{kL}-Ф4•{nD}-М4/мL =0 ,

Откуда

R05=[(Q-Ф5)•{LD} +G5{LЕ} - G4{kL}+Ф4•{nD}-М4/мL]/ {LЕ} =[(478,62- -392,9)•132,3−49•324,03−58,9•139,5+471,8•65,99+43,49/0,001]/324,03= =190,94 Н Плечи сил взяты из чертежа группы 4−5.

Строим план сил группы 4−5 в соответствии с векторным уравнением равновесия сил:

R05+Q+G5+Ф5+Ф4+G4+R34 = 0

Из которого находим реакцию R34=744,62 Н, а затем из условия

R05+Q+G5+Ф5+R45 =0

— реакцию R45= 254,79 Н.

Группа 2−3

На звенья группы действуют силы тяжести:

G2 = m2g = 8•9,81 =78,5 Н

G3 = m3g = 6•9,81 = 58,9 Н Силы инерции:

Ф2 = m2аs2 =8•36,64 = 293,1 Н;

Ф3 =0 (так как аs3 =0),

Моменты сил инерции: Js2=0,15; Js3=0,15

М2 = Js2е2 =0,15•156,32 = 23,45 Нм;

М3 = 0, т.к. е3=0

На звено 3 в точке D действует известная из предыдущего расчета реакция R43, направленная противоположно R34 .

Находим реакции в кинематических парах. Для этого отделяем камень К от кулисы 2 и реакцию между ними представляем как Rк2 (R2к).Составляем уравнение моментов сил для звена 2 относительно точки А

?М (2)А=R32•{КА}+М2/м2 + Ф2{fА}-G2•{gА}+R43{hА}=0.

Отсюда реакции звена 3 на звено 2

R32=-М2/м2-Ф2{fА}+G2•{gА}-R43{hА}/{КА}=(-23,45/0,001−293,1•80,91+ +78,5•6,73−744,62•254,31)/595,8=-396,1 Н.

Строим план сил в соответствии с векторными уравнениями:

R32+ Ф2+ G2+ R43+R12=0;

R23+ G3+ R03=0

И определяем реакции

R12=792,35 Н; R03= 454,36 Н Ведущее звено На ведущее звено 1 (кривошип) действует в точке, А реакция со стороны звена 2 (R2), а в точке О — сила тяжести

G1=m1g = 10•9,81 = 98,1 Н И реакция R01. Кроме того, к кривошипу приложен уравновешивающий момент Му. Найдем последний из соотношения Му = R21•Оt = 792,35•96,6 = 76,54 кН•м Строим план сил ведущего звена, из которого R01 = 726,41 Н Рычаг Жуковского Используем метод рычага Жуковского для проверочного уравновешивающего момента. Приложим в соответствующих точках повернутого на 90 градусов плана скоростей (рычага) силы тяжести, инерции, полезного сопротивления и приведенный к рычагу суммарный момент сил инерции

?Мsum? = ?М2? + ?М3? + ?М4?

Здесь ?М2?= М2{аb}/АВ = 23,45•100/0,1 =23 450 Нмм; (+)

?М3? = 0, т.к. М3 =0;

?М4? = М4{dе}/DЕ = 43,49 73,08/0,35 = 9080,7 Нмм (-)

Расстояние АВ в метрах определяется по схеме механизма с учетом масштабного коэффициента.

Знаки приведенных моментов могут отличаться от знаков фактических моментов сил инерции. Чтобы определить знак приведенного момента, нужно мысленно разложить момент сил инерции на пару сил и перенести эту пару на рычаг. Знак момента полученной таким образом пары сил и будет знаком приведенного момента.

Суммарный приведенный момент:

<�Мsum> =(23 450)+0+ (-9080,7) = 14 369,3 Нмм.

Составляем уравнение моментов сил относительно полюса плана:

?Мр = <�Му> + <�Мsum> + Ф2{рf}+G2{рg}+G3{ре}+G4{рk}+Ф4{рn}+(Ф5 -Q){рЕ}=0

отсюда

<�Му>=[-<�Мsum>-Ф2{рf}-G2{рk} - G3{ре} - G4{рk}-Ф4{рn}-(Ф5 -Q){ре}=

=[-{-14 369,3}-293,1•21,91−78,5•33,76−58,9•50,7−58,9•38,66−471,48 •122,36- (392,9−478,62)155,89]=74,29 кНм Фактический уравновешивающий момент (полученный из рычага Жуковского) Му =|(Му' -Му)|•100%/Му= | (76,54 -74,29) |•100%/74,29= 3,0%

Силовой расчет методом координат Группа 4−5.

Согласно расчетной схеме, система уравнений кинетостатики данной группы имеет вид:

Q + Ф5 + R45X = 0;

— G5 + R45Y + R05 = 0;

R45X (YE-YD)-R45Y (XE-XD)+(Ф4Y-G4)(XS4-XD)-Ф4X (YS4-YD)+M4 = 0;

R24X + Ф4X — R45X = 0;

R24Y + Ф4Y — G4 — R45Y = 0,

где Q = 433,06H; Ф5 = -m5aE = -55,12 = -25,6 H;

Ф4X = -m4aS4X = -6(-2,3) = 13,8 H;

Ф4Y = -m4aS4Y = -64,58 = -27,5 H;

M4 = -JS4е4 = -0,1(-1,12) = 0,10 Hм.

Решая систему уравнений, находим реакции в кинематических парах группы 4−5:

Группа 2−3.

Согласно расчетной схеме, система уравнений кинетостатики данной группы имеет вид:

— R23X (YA-YB)+R23Y (XA-XB)-(Ф2Y-G2)(XA-XS2)+

+Ф2X (YA-YS2)-R24X (YA-YD)+R24Y (XA-XD)+M2 = 0;

R23XkX + R23YkY = 0;

R12X + Ф2X — R23X — R24X = 0;

R12Y + Ф2Y — G2 — R23Y — R24Y = 0;

R03X + R23X = 0;

R03Y — G3 + R23Y = 0;

где Ф2X = -m2aS2X = -81,37 = -10,9 H;

Ф2Y = -m2aS2Y = -87,09 = -56,7 H;

M2 = -JS2е2 = -0,15 185,38 = -29,66 Hм.

Решая систему уравнений, находим реакции в кинематических парах группы 2−3:

Ведущее звено.

Для ведущего звена система уравнений кинетостатики имеет вид:

R12XYA — R12YXA + MУ = 0;

R01X — R12X = 0;

R01Y — G1 — R12Y = 0.

Отсюда находим

Проверка:

R01X + Ф2X + R03X + Ф4X + Ф5 + Q =

= -104,2−10,9−46,9+13,8−25,6+173,8 = 0.

1. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. — М.: Наука, 1978.

2. Попов С. А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин. — М.: Высшая школа, 1986.

3. Хорунжин В. С. Теория механизмов и машин: учебное пособие. Часть 1. -Кемерово, КемТИПП, 2003.