Особенности и границы применимости аналитических методов

Оценивая возможности применения аналитических методов для решения задач системного анализа, следует отметить, что аналитические методы применяют в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т. е. когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить их поведение вне этого интервала. Эти методы используются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения, в том числе в конфликтных ситуациях, и т. п.

Математические теории, развивающиеся на базе аналитических представлений, стали основой многих прикладных теорий, в том числе теории автоматического управления, теории оптимальных решений и т. д.

По мере усложнения моделей в качестве самостоятельных классов сформировались классы отыскания экстремумов функционалов и приближенных вычислений. Выше охарактеризованы особенности и возможности наиболее востребованных в системном анализе методов вариационного исчисления и численных методов.

Поскольку по мере усложнения задач процесс формирования или выбора модели становится все более связанным с содержательным анализом решаемой задачи, осуществляемым человеком, субъектом в определении (1.1), и этап осмысления, постановки задачи становится все более сложным, возникли новые направления аналитических методов. Они имеют некоторые средства, помогающие осуществлять содержательный анализ задачи в процессе формирования математической модели, — методы математического программирования, которые обладают определенными особенностями, помогающими субъекту в постановке задачи и осмыслении процесса моделирования.

Привлекательность методов математического программирования для решения слабоформализованных задач (каковыми, как правило, являются задачи планирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования и другие задачи управления современным предприятием на начальном этапе их постановки) объясняется рядом особенностей, отличающих эти методы от методов классической математики.

Для пояснения этих особенностей рассмотрим упрощенный пример.

Предположим, что в трех цехах (Ц. Ц, ЦЗ) изготавливается два вида изделий И и И. Известны загрузка каждого цеха а, (оцениваемая в данном случае в процентах) при изготовлении каждого из изделий и прибыль (или цена, объем реализуемой продукции в рублях) ^ от реализации изделий. Требуется определить, сколько изделий каждого вида следует производить при возможно более полной загрузке цехов, чтобы получить за рассматриваемый плановый период максимальную прибыль или максимальный объем реализуемой продукции.

Такую ситуацию удобно отобразить в виде таблицы (табл. 2.9), которая подсказывает характерную для задач математического программирования форму представления задачи, т. е. целевую функцию (в данном случае определяющую максимизацию прибыли или объема реализуемой продукции):

и ряд ограничений (в данном случае диктуемых возможностями цехов, т. е. их предельной 100%-й загрузкой):

Таблица 2.9. Исходные данные.

В данном случае ограничения однородны, и их можно записать короче:

В общем случае может быть несколько групп подобных ограничений (например, по имеющимся материалам разного вида, себестоимости, заработной плате рабочих и т. п.).

Графическое решение задачи приведено на рис. 2.6.

Рис. 2.6.

Ограничения определяют область допустимых решений, а наклон прямой, отображающей целевую функцию, определяет точку последнего ее пересечения с областью допустимых решений, которая и является наилучшим решением задачи (оптимумом). В данном случае хх = 9, х = 13.

В случае большего числа разнородных ограничений графическая интерпретация задачи затруднена, поэтому используются специальные методы (например, симплекс-метод), пакеты прикладных программ, их реализующие.

В зависимости от вида целевой функции и принципов организации решения выделяют направления математического программирования: линейное (при линейном характере целевой функции), нелинейное (нелинейная целевая функция); целочисленное (ограничение на характер переменных), динамическое и т. п. Эти направления имеют специфические особенности и методы решения. Но основная суть постановки задачи сохраняется.

Постановки задач методами линейного и динамического программирования и примеры способов их решения подробнее рассматриваются в следующих параграфах.

Анализ хода постановки и решения задач математического программирования позволяет выявить основные особенности математического программирования:

• • введение понятий " целевая функция" и " ограничения" и ориентация на их формирование являются фактически некоторыми средствами постановки задачи; причем эти средства можно использовать, даже если не удается сформировать систему непротиворечивых ограничений или записать целевую функцию в формальном виде, поскольку в процессе проведения исследования возможно уточнить представление о проблемной ситуации и, таким образом, поставить задачу хотя бы в первом приближении;
• • при использовании методов математического программирования появляется возможность объединения в единой модели разнородных критериев (разных размерностей, предельных значений), что очень важно при отображении реальных проектных и производственных ситуаций;
• • модель математического программирования допускает (и даже ориентирует на это) выход на границу области определения переменных;
• • изучение методов решения задач математического программирования позволяет получить представление о пошаговом приближении к решению, т. е. о пошаговом алгоритме получения результата моделирования;
• • графическая интерпретация задачи дает наглядное представление об области допустимых решений (которая па рис. 2.6 заштрихована), что помогает в практических ситуациях даже в тех случаях, когда не удается получить формальное отображение целевой функции и строго решить задачу математического программирования.

Благодаря рассмотренным особенностям методы математического программирования можно кратко охарактеризовать как имеющие, в отличие от классической математики, некоторые средства постановки задачи. В частности, термин щелевая функция" часто используется даже в тех случаях, когда очевидна невозможность формального установления детерминированных взаимосвязей между компонентами и целями системы. Помогает в постановке задачи и понятие области допустимых решений. Этим объясняется популярность рассматриваемого направления; однако получаемые в таких случаях модели уже не относятся к моделям математического программирования и аналитическим методам.

Оценивая возможности применения аналитических методов для отображения сложных систем, следует иметь в виду, что они требуют установления всех детерминированных связей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей.

Это требуется и для методов математического программирования, в разных классах которых вводятся дополнительные характеристики и приемы, расширяющие возможности их применения для решения слабоструктурированных задач.

Проблемы применения аналитических методов проявились уже при исследовании электронных устройств. На эти проблемы обратил внимание Н. Винер: «Простые линейные обратные связи… оказываются не такими уж простыми и линейными, как представлялось сначала. В самом деле, в начале периода теории электрических цепей математические средства для систематического исследования цепей не выходили из области линейных комбинаций сопротивлений, емкостей и индуктивностей. Это означает, что весь предмет можно было достаточно верно описать в терминах гармонического анализа передаваемых сообщений и в терминах комплексных сопротивлений, комплексных проводимостей и отношений напряжений в цепях, через которые проходят сообщения» .

При дальнейшем уточнении моделей для исследования электронных схем стремление отыскать расширенное понятие комплексного сопротивления привело к нелинейным моделям. Потребовался новый подход. Оказалось, что при переходе к рассмотрению нелинейных систем тригонометрический анализ, позволяющий разрабатывать модели анализа линейных систем, неприменим, и этот факт имеет четкое математическое объяснение, основанное на физических законах переносов во времени.

Исследования показали также, что математическая модель строгого синтеза даже простейших усилителей приводит к тому, что число каскадов должно приближаться к бесконечности, что нереализуемо па практике. Поэтому при создании электронных устройств разрабатывают и применяют методики приближенных расчетов. А при переходе к сверхвысоким частотам вообще невозможно их создать только на основе расчетов, требуются экспериментальные исследования с учетом влияния внешних воздействий, в условиях которых предстоит работать разрабатываемому устройству.

В то же время класс математических методов, базирующихся на аналитических представлениях, постоянно развивается, и появляются новые направления, сохраняющие строгость формальных методов, но вводящие приемы, обеспечивающие привлечение при моделировании ситуаций с неопределенностью субъекта, формирующего и исследующего модель. Эти методы вначале называли, да и в настоящее время нередко называют качественными методами. Одним из практически значимых направлений, сочетающих строгость аналитических методов и качественные приемы, являются методы теории подобия, кратко характеризуемые в приложении 1.

Дальнейшие исследования возможностей применения аналитических методов показали, что при моделировании сложных многокомпонентных, многокритериальных задач и проблемных ситуаций получить требуемые аналитические зависимости крайне трудно. Более того, даже если это и удается, то практически невозможно доказать правомерность применения таких зависимостей, т. е. адекватность модели рассматриваемой задаче.

В таких ситуациях следует обратиться к другим методам моделирования, особенности и возможности которых рассматриваются в последующих главах.