Таблицы истинности. 
Логика для менеджеров

Центральной проблемой теории суждений является установление истинности или ложности высказываний. В простых суждениях эта задача решается сравнительно легко (с помощью логического квадрата). В сложных высказываниях приходится учитывать не только истинностные значения простых суждений, из которых они образованы, но и характер логических союзов. Для этого используют таблицы истинности, принцип построения которых был предложен австрийским логиком Л. Витгенштейном (1889−1951).

Таблицы строятся таким образом:

• 1) каждая таблица имеет вход и выход;
• 2) на входе выписываются все возможные комбинации истинностных значений суждений, из которых составлено рассматриваемое сложное суждение;
• 3) на выходе выписывается значение сложного суждения.

Рассмотрим суждения А лB, Лv В, Л /В, А -> В, Л = В, -*А, Первые пять сложных суждений составлены из двух простых, поэтому построим таблицу, у которой на входе будет два суждения, а на выходе — вся формула сложного суждения.

Возьмем соединительное суждение (конъюнкцию) А Л В.

Чтобы понять смысл союза «и», рассмотрим следующую ситуацию. Вы обещаете: «Завтра я пойду на лекцию по логике и буду делать домашнее задание». В каких случаях вы сдержите свое обещание, а в каких — нет? Возможны четыре варианта.

1. Вы пошли на лекцию и сделали задание. Соответственно сложное суждение истинно. Получили первую строчку в таблице:

2. Вы пошли на лекцию (А — истинно), но задание не сделали (В — ложно). Обещание не сдержали — все суждение ложно. Получили вторую строчку в таблице:

3. Вы не пошли на лекцию (А — ложно), но сделали задание (В — истинно). Обещание не сдержали — суждение опять оказалось ложным. Получили третью строчку в таблице:

4. Вы не пошли на лекцию (А — ложно) и не сделали задание (В — ложно). Ни о каком обещании не может быть и речи. Получили четвертую строчку в таблице:

По этому алгоритму составляются таблицы и для остальных союзов. Вот сводная таблица условий истинности сложных суждений.

По этому алгоритму составляются таблицы и для остальных союзов. Сводная таблица условий истинности сложных суждений.

Прокомментируем данные таблицы.

• 1. Конъюнктивное суждение истинно, если истинны все его члены, и ложно, если хотя бы один из них ложен.
• 2. Нестрогая дизъюнкция истинна, если истинен хотя бы один ее член, и ложна, если ложны все члены.
• 3. Строгая дизъюнкция истинна, если истинен только один ее член, в остальных случаях она ложна.
• 4. Условное суждение истинно во всех случаях, кроме одного: когда из истинного основания вытекает ложное следствие. Некоторое затруднение вызывает третья строка, когда при ложном основании и истинном следствии сложное суждение оказывается истинным. Разберем это подробнее. Например: «Если информация была недостоверной, то и решение найдено неверно». Но ведь решение могло быть неверным и по другим причинам: вследствие ошибок в методологии принятия решений, логических ошибок при оперировании вполне достоверной информацией и т. п. Таким образом, истинность В при ложности А не опровергает идею о наличии условной связи между ними.
• 5. Эквивалентное суждение истинно лишь тогда, когда логические переменные принимают одинаковые истинностные значения.
• 6. Отрицательное суждение истинно тогда и только тогда, когда противоречащее ему суждение ложно.

Как построить таблицу? Минимальное количество столбцов в таблице рассчитывается по числу логических переменных плюс столбец для всей формулы. Но в случае необходимости для удобства расчетов выделяют и столбцы для подформул. Количество строк рассчитывается по формуле И = 2п, где п — число логических переменных. В верхней части таблицы выделяется еще одна строка для записи правильно построенных формул, сокращенно ППФ (см. гл. 1, параграф 1.2). В приведенной выше сводной таблице истинности для всех сложных суждений был взят простейший вариант с двумя логическими переменными. Соответственно и число строк было: к = 22 = 4. Но рассмотрим более сложный случай: «Люди работают не только ради денег, и если вы пытаетесь мотивировать людей, деньги не самый эффективный инструмент» .

Выделим элементарные высказывания, обозначив их буквами:

• — «Люди работают не только ради денег» (т); — «Вы пытаетесь мотивировать людей» (п);
• — «Деньги — самый эффективный инструмент» (р).
• — Попутно обозначим и отрицание последнего суждения: «Деньги не самый эффективный инструмент» («р).

Учитывая функции логических союзов, построим формулу.

Главный союз здесь — эквиваленция. Взаимная обусловленность правой и левой части формулы может быть удостоверена. «Если вы пытаетесь мотивировать людей деньгами, то имейте в виду, что выбрали не самый эффективный инструмент, так как люди работают не только ради денег». Можно и обратное сказать: «Если люди работают не только ради денег, то, мотивируя людей деньгами, вы выбираете не самый эффективный инструмент» .

В этом высказывании три логических переменных, соответственно количество строк в таблице должно быть 23 = 8.

Во входной части таблицы фиксируются всевозможные комбинации истинностных значений логических переменных т, пч р. Начиная с верхней строки, чередуют значения «и» (истина) и «л» (ложь): в первом столбце через четыре строки, во втором — через две, а в третьем — через одну. Затем эти значения вписываются в подформулы и формулы:

Затем с учетом логических функций связок определяют истинностные значения более сложных подформул, — в нашем случае для импликации: (п -> -*р). Памятуя о том, что импликация истинна во всех случаях, кроме одного, когда из истинного основания выводится ложное следствие, под знаком логической операции в четвертом и пятом столбцах записываем значения подформулы:

Заключительным шагом будет нахождение значения всей формулы. Учитывая, что эквиваленция — главная логическая операция нашей формулы, — истинна только тогда, когда связываемые ею формулы принимают одинаковые истинностные значения, получаем:

Как видим, суждение истинно в четырех случаях и в четырех — ложно.

Сложное суждение, которое во всех строках таблицы принимает значение «истина», называется тождественно-истинным. Сложное суждение, получающее во всех строках «ложь», называется тождественно-ложным. Сложные суждения, принимающие значение «истина» не во всех случаях, называются выполнимыми. Опираясь на логическую теорию информации Р. Карпана (1891 — 1970), можно посчитать вероятность истинности нашего суждения. Оно имеет вероятность ½.

Заключение

Вопрос об истинности наших мыслей один из ключевых в жизненных ориентациях человека. II решается он в постоянном напряжении всех жизненных сил человека, в том числе и интеллектуальных. Решается всегда индивидуально, но на основе духовных приобретений человечества, одним из которых является логика — испытанное и, в рамках своих возможностей, универсальное средство проверки мыслей на истинность. Универсальное не в смысле «отмычки» па все случаи жизни, а в смысле общезначимости ее процедур. В своем конкретном приложении законы и правила логики требуют не меньших усилий, чем их изучение. В любом случае — усилие, усилие и еще раз усилие. И хотя успех отнюдь не гарантирован, это все же не сизифов труд. Об объективных трудностях на этом пути хорошо сказал поэт Р. Гамзатов:

" Но в мире следствий и причин, Спускаясь в тайные глубины, Не смог добраться ни один До истины, до сердцевины. Столетья таинства полны, И не исчезнет жизнь, покуда Есть ощущенье новизны, И удивления, и чуда" .

И Аристотель — отец-основатель науки логики, полагал, что познание начинается с удивления. Логика, при всей ее нормативности, не лишает нас этого чувства, но требует большого труда. Одного удивления мало. Как говорил В. Виндельбанд: «Истина не влетает, как жареный голубь, в разинутый от удивления рот» .

Выводы

Суждение — это форма мысли, в которой что-либо утверждается или отрицается о предмете мысли.

Основной логической характеристикой суждений является истинностное значение, вокруг которого и разворачивается логический анализ высказываний.

Суждения бывают простыми и сложными. Простые суждения в зависимости от того, что утверждается или отрицается в них, делятся на атрибутивные, реляционные и экзистенциальные.

Основные характеристики атрибутивных (простых категорических) суждений — это количество и качество, на основе которых и осуществляется классификация данных суждений.

В объединенной классификации атрибутивных суждений, сочетающей количественные и качественные характеристики, выделяют: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения.

Специфическими видами атрибутивных высказываний являются выделяющие и исключающие суждения.

Логическая природа атрибутивных суждений раскрывается не только посредством содержательного анализа терминов, но и установления объемных соотношений между ними.

Анализ объемных соотношений терминов позволяет установить их количественные характеристики (распределенность) и тем самым уточнить предметное поле высказывания.

Существуют правила распределенности терминов, по которым субъекты распределены в общих суждениях и не распределены в частных, а предикаты распределены в отрицательных и не распределены в утвердительных суждениях. В выделяющих суждениях предикаты всегда распределены.

Сложные суждения образуются из простых с помощью логических союзов. В зависимости от функций логических союзов выделяют следующие виды сложных высказываний: соединительные (конъюнкция), разделительные (дизъюнкция), условные (импликация), равносильные (эквиваленция), суждения с внешним отрицанием и комбинированные.

Истинностное значение сложных суждений зависит от истинности или ложности входящих в их состав простых суждений и от функций логических союзов.

Установление истинностных значений сложных высказываний осуществляется с помощью таблиц истинности.