Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Перепишем соотношение (**) § 9 так:

Отсюда заключаем: произведение/(?, г) АхАу есть вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Ах и Ау.

Пусть в плоскости хОу задана произвольная область D. Обозначим событие, состоящее в попадании случайной точки в эту область, так: (X, У) с D.

Разобьем область D на п элементарных областей прямыми, параллельными оси О у, находящимися на расстоянии Ах одна от другой, и прямыми, параллельными оси ОХу находящимися на расстоянии Ау одна от другой (рис. 17) (для простоты предполагается, что эти прямые пересекают контур области не более чем в двух точках). Так как.

Рис. 17.

события, состоящие в попадании случайной точки в элементарные области, несовместны, то вероятность попадания в область D приближенно (сумма элементарных областей приближенно равна области D) равна сумме вероятностей попаданий точки в элементарные области:

Переходя к пределу при Дх —> 0 и Аг/ —"0, получим.

Итак, для того чтобы вычислить вероятность попадания случайной точки (Х Y) в область Д достаточно найти двойной интеграл по области D от функции /(х, у).

Геометрически равенство (*) можно истолковать так: вероятность попадания случайной точки (X; У) в область D равна объему тела, ограниченного сверху поверхностью z = /(х, у), основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость хОу.

Рис. 17.

Замечание. Подынтегральное выражение/(х, y)dxdy называют элементом вероятности. Как следует из предыдущего, элемент вероятности определяет вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами clx и cly.

Пример. Плотность распределения двумерной случайной величины.

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (рис. 18) с вершинами К (1; 1), 1(73; 1), М ( 1; 0) и АЧТЗ; 0).

Решение. Искомая вероятность.

§ 11. Свойства двумерной плотности вероятности.