Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии

Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии bj и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели Р_у (/-1,2,…, р).

В силу (4.14), (4.16) и изложенного выше оценка s^ дисперсии коэффициента регрессии /у определится по формуле:

где s² — несмещенная оценка параметра а²;

[(ХХ)~ ]jj — диагональный элемент матрицы уХ!Х)¹.

Среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) коэффициента регрессии bj примет вид:

Значимость коэффициента регрессии bj можно проверить, сели учесть, что статистика (bj -$j)l s_bj имеет /-распределение Стью;

дента с к = п — р — 1 степенями свободы. Поэтому bj значимо отличается от нуля (иначе — гипотеза Щ о равенстве параметра нулю, т. е. Я₀: Р, = 0, отвергается) на уровне значимости а,.

ь

если |/| =¹—-> t_x__a._n__p__l9 где t_x__a._n__p__x — табличное значение.

^sb

/-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости, а при числе степеней свободы к = п — р — 1.

В общей постановке гипотеза #о ° равенстве параметра р_у;

заданному числу р_/0, т. е. Я₀: р_у = р_у0, отвергается, если.

Поэтому доверительный интервал для параметра р, есть.

Наряду с интервальным оцениванием коэффициентов регрессии по (4.23') весьма важным для оценки точности определения зависимой переменной (прогноза) является построение доверительного интервала для функции регрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной M_X(Y), найденного в предположении, что объясняющие переменные Х, Х_р приняли значения, задаваемые вектором Х'₀ = (l x_]Q х₂₀ … х_р0).

Выше такой интервал получен для уравнения парной регрессии (см. (3.34) и (3.33)). Обобщая соответствующие выражения на случай множественной регрессии, можно получить доверительный интервал для М_х{ Y):

где у — групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии,.

— ее стандартная ошибка.

При обобщении формул (3.36) и (3.35) аналогичный доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной у% примет вид:

где.

Доверительный интервал для параметра а² в множественной регрессии строится аналогично парной модели по формуле (3.39) с соответствующим изменением числа степеней свободы критерия х²*.

? Пример 4.3. По данным примера 4.1 оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6%; найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95%-ные доверительные интервалы. Найти интервальную оценку для дисперсии а².

Решение. В примере 4.1 уравнение регрессии получено в виде у = —3,54 + 0,854xj + 0,367×2.

По условию надо оценить M_X(Y), где Х'₀ =(18 6). Выборочной оценкой М_х{Y) является групповая средняя, которую найдем по уравнению регрессии:

Для построения доверительного интервала для М_х(Y) необходимо знать дисперсию его оценки — sj. Для ее вычисления обратимся к табл. 4.2 (точнее к ее двум последним столбцам, при составлении которых учтено, что групповые средние определяются по полученному уравнению регрессии).

6 3?9 I;

Теперь no (4.21): .у² =——= 0,904 и s = J0,904 = 0,951 (т).

10−2-1.

Определяем стандартную ошибку групповой средней у по формуле (4.25). Вначале найдем.

Теперь s_fi = 0,951⁰, 1870 = 0,411 (т).

По табл. II приложений при числе степеней свободы ?=10— —2—1=7 находим /о, 95;7⁼2,36. По (4.24) доверительный интервал для М_х{ Y) равен.

или.

Итак, с надежностью 0,95 средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6% находится в пределах от 4,52 до 6,46 т.

Сравнивая новый доверительный интервал для функции регрессии M_X(Y), полученный с учетом двух объясняющих переменных, с аналогичным интервалом с учетом одной объясняющей переменной (см. пример 3.3), можно заметить уменьшение его величины. Это связано о тем, что включение в модель новой объясняющей переменной позволяет несколько повысить точность модели за счет увеличения взаимосвязи зависимой и объясняющей переменных (см. ниже).

Найдем доверительный интервал для индивидуального значения уо при ^0=0 8 б):

по (4.27): 5_Л = 0,951¹ + 0,1870 = 1,036 (т) и по (4.26): 5,49−2,36−1,036 <, у% <5,49+2,36 • 1,036,.

т. е. 3,05 < уо <7,93(т).

Итак, с надежностью 0,95 индивидуальное значение сменной добычи угля в шахтах с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6% находится в пределах от 3,05 до 7,93 (т).

Проверим значимость коэффициентов регрессии Ь и b2- В примере 4.1 получены Ь= 0,854 и Ь2=0,367. Стандартная ошибка s_bl в соответствии с (4.22) равна

Так как t = ~~~ = 3,81 > /_0>95;7 = 2,36, то коэффициент Ь значим.

Аналогично вычисляем Su =0,95L —-—244 = 0,243 и t = 9^^ =

V 3738 0,243

= 1,51 = 2, 36, т. е. коэффициент hi незначим на 5%-ном

уровне.

Доверительный интервал имеет смысл построить только для значимого коэффициента регрессии Ь. по (4.23'):

0,854 — 2,36 • 0,221 < р, < 0,854+2,36 • 0,221, или 0,332 < р, < 1,376.

Итак, с надежностью 0,95 за счет изменения на 1 м мощности пласта Х (при неизменном сменная добыча угля на одного рабочего Yбудет изменяться в пределах от 0,332 до 1,376 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра а². Учитывая, что «= 1—0,95 = 0,05, найдем по таблице III приложений п — р— 1 = /2—2 — 1 = /2 — 3 степенях свободы

По формуле (4.28)

или 0,565 < а² < 5,349 и 0,751 < а < 2,313 .

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,565 до 5,349, а их стандартное отклонение — от 0,751 до 2,313 (т). ?

Формально переменные, имеющие незначимые коэффициенты регрессии, могут быть исключены из рассмотрения. В экономических исследованиях исключению переменных из регрсс-

сии должен предшествовать тщательный качественный анализ. Поэтому может оказаться целесообразным все же оставить в регрессионной модели одну или несколько объясняющих переменных, не оказывающих существенного (значимого) влияния на зависимую переменную.