Связь между общей, факторной и остаточной суммами

Покажем, что.

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (р =2) и двумя испытаниями на каждом уровне (q = 2). Результаты испытаний представим в виде табл. 31.

Таблица 31

Тогда.

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю ж_ф1, а на втором — х_гр2. Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю (рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно), получим

Итак,.

Следствие. Из полученного равенства вытекает важное следствие:

Отсюда видно, что нет надобности непосредственно вычислять остаточную сумму: достаточно найти общую и факторную суммы, а затем их разность.

Общая, факторная и остаточная дисперсии

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии:

где р — число, уровней фактора; q — число наблюдений на каждом уровне; pq- 1 — число степеней свободы общей дисперсии; р — 1 — число степеней свободы факторной дисперсии; p (q — 1) — число степеней свободы остаточной дисперсии.

Если нулевая гипотеза о равенстве средних справедлива, то все эти дисперсии являются несмещенными оценками генеральной дисперсии. Например, учитывая, что объем выборки п = pq, заключаем, что.

— исправленная выборочная дисперсия, которая, как известно, является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Замечание. Число степеней свободыp (q -1) остаточной дисперсии равно разности между числами степеней свободы общей и факторной дисперсий. Действительно,