Поле скоростей. 
Плотность потока молекул

Течение газа описывают при помощи зависимости от времени t и радиус-вектора г скорости й упорядоченного движения молекул:

Эта функция (векторное поле) для любой точки г пространства, заполненного газом, определяет вектор й скорости малой части газа, которая оказалась в этой точке в момент времени t. Такое векторное поле называется полем скоростей.

Для того чтобы составить более ясное представление о характере векторного поля (5.9), ему дают следующую геометрическую интерпретацию. В пространстве, заполненном движущимся газом, строят семейство воображаемых линий таких, что касательная к линии, проходящей через произвольную точку, в любой момент времени совпадает по направлению с вектором скорости газа в этой точке. Такие линии называются линиями тока .

В общем случае направление вектора скорости в различных точках пространства изменяется со временем и картина линий тока также непрерывно меняется. Если же вектор скорости и в каждой точке пространства со временем не изменяется, то течение газа называется стационарным, или установившимся. В таком случае каждая малая часть газа проходит данную точку пространства с одной и той же соответствующей этой точке скоростью: и = й (г). При этом семейство линий тока также не изменяется со временем.

При стационарном движении газ можно разделить на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Поэтому такое движение называется ламинарным, т. е. слоистым. Это название происходит от латинского «lamina», что означает пластинка или полоска. Нестационарное течение газа, сопровождающееся его интенсивным перемешиванием, называется турбулентным.

Рис. 5.3.

К вычислению потока молекул

Рассмотрим часть газа, заключенную в цилиндрическом объеме между двумя параллельными плоскостями 1 и 2 (рис. 5.3), расстояние между которыми таково, что длина отсекаемых ими отрезков линий тока равна среднему расстоянию udt, преодолеваемому частицей газа за время dt. ''Боковые" поверхности цилиндра образованы линиями тока. Объем рассматриваемого цилиндра dV равен произведению площади основания dS на высоту udt | cos or |, где а — угол между вектором скорости и и перпендикуляром к плоскости основания цилиндра:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Другими словами, это есть число молекул, пролетающих за время dt

здесь 0 < а < тг. Направленное движение молекул приводит к тому, что молекулы газа, которые в некоторый момент времени находились у плоскости /, за время dt переместятся к плоскости 2. Очевидно, что часть газа, занимавшая объем dV рассматриваемого цилиндра, за время dt вытечет из него через основание 2. Число молекул в этой части газа будет через плоскую поверхность площадью dS, ориентированную под углом а к скорости и течения газа.

Вектор

называется плотностью потока молекул. Согласно формуле (5.11) направление этого вектора совпадает с направлением вектора й скорости течения газа в данной точке пространства, а его модуль.

Так как концентрация и вектор средней скорости молекул в общем случае зависят от времени и координат точки пространства, вектор плотности потока молекул также будет зависеть от этих аргументов:

При помощи формулы (5.12) выражение (5.10) можно записать как.

Этой формула позволяет раскрыть физический смысл вектора J плотности потока молекул. Он заключается в том, что согласно формуле (5.13) модуль этого вектора равен числу молекул, пролетающих за единицу времени (dt = 1 с) через единицу площади (dS = 1 м²) поверхности, перпендикулярной к линиям тока (cos, а =1).

Построим произвольную воображаемую поверхность S. Разобьем ее на бесконечно малые части (элементы поверхности), площадь одной из которых обозначим dS (рис. 5.4). Ввиду того, что размеры элемента поверхности бесконечно малы, сам элемент будет почти плоским. Построим в произвольной точке Р элемента поверхности вектор п, который 1) перпендикулярен к поверхности 5 в данной точке и 2) имеет модуль, равный единице. Такой вектор п называют единичной нормиихъю к поверхности в точке Р. Тогда как коллинеарный ему вектор

называют векторным элементом поверхности S.

Пусть в точке Р вектор плотности потока молекул принимает значение J. Скалярное произведение векторов (5.11) и (5.14).

называется потоком вектора J через элемент поверхности dS, или элементарным потоком вектора J. Согласно определению скалярного произведения.

Сравнив выражения (5.13) и (5.16), придем к заключению, что модуль потока dФ есть число молекул, пересекающих элемент поверхности dS за единицу времени.

Рис. 5.4.

К определению

потока вектора J

Алгебраическая сумма потоков (5.15) через все элементы поверхности 5, т. е. поверхностный интеграл.

называется потоком вектора J через поверхность S. Модуль величины Ф есть число молекул, которые пересекают поверхность 5 за единицу времени. Неравенство Ф > 0 означает, что газ протекает через поверхность 5 преимущественно в направлении вектора п. Если же Ф < 0, то газ течет в противоположном направлении. Поток Ф протекающего через поверхность S газа может быть равен нулю. Такое возможно, когда через некоторые части поверхности газ течет в направлении вектора п, а через другие — в противоположном направлении. Если при этом числа молекул, передвигающихся в различных направлениях, одинаковы, то суммарный поток будет равен нулю.

Рассмотрим произвольную воображаемую замкнутую поверхность 5, через которую в охватываемый ею объем V втекает или вытекает некоторый газ. Вследствие течения газа число молекул N в объеме V может изменяться со временем:

Среднее число молекул, которые пересекают поверхность S за единицу времени, равно потоку вектора J :

Окружность на знаке интеграла означает, что поверхность 5, по которой производится интегрирование, является замкнутой. В таком случае принято вектор п направлять не внутрь поверхности 5, а наружу. При этом вектор п называют внешней нормалью к поверхности S.

Когда газ преимущественно вытекает из объема V, поток Ф будет положителен. При этом число N молекул газа в объеме V уменьшается и приращение dN должно быть отрицательным. Но определению потока число молекул, которые пролетают за время dt через поверхность 5 в направлении внешней нормали, равно произведению потока Ф на время dt. На эту величину уменьшается число N молекул газа в объеме V, т. е. приращение числа молекул.

Эта формула учитывает также случай, когда газ втекает в объем V. В этом случае поток Ф отрицателен, а приращение dN положительно.

Равенства (5.20) и (5.21) выражают собой закон сохранения числа моле— кул.

При помощи формул (5.18) и (5.19) равенство (5.20) можно преобразовать к виду.