Теорема гипотез (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) Я, Н₂,…, Н_п. Вероятности этих гипотез известны и равны соответственно Р{Н_Х), Р (Н₂), …, Р (Н"). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие А.

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность Р (А)Ф О для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (2.12) имеем:

Отсюда.

Разделим на Р (А)Ф 0 левую и правую часть уравнения, тогда окончательно получим:

Выражая Р (А) с помощью формулы полной вероятности (2.13), получим формулу Байеса:

ПРИМЕР 10. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собирается из высококачественных деталей, и их надежность за время t равна 95%. Приборы из обычных деталей за время t имеют надежность 0,7. Прибор испытан и за время t работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

РЕШЕНИЕ. Возможны 2 гипотезы:

Н_х — прибор собран из высококачественных деталей;

Н₂ — прибор собран из обычных деталей.

Вероятности этих гипотез до опыта соответственно равны: Р (Я,) = 0,4, Р (Я₂) = 0,6. В результате опыта наблюдалось событие А —

прибор безотказно работал время t. Условные вероятности этого события при гипотезах Я, и Я, соответственно равны: Р (А / Я,) = 0,95, Р (Л/Н₂) = 0,7.

ПРИМЕР 11. В урне находятся три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар. а) Сформулируйте гипотезы о содержимом урны до испытания и укажите их вероятности. Ь) Найдите вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

РЕШЕНИЕ.

a) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

Н_х — в урне 3 белых и 0 черных шара;

Н-, — в урне 2 белых и 1 черный шар;

Ну — в урне 1 белый и 2 черных шара;

/7₄ — в урне 0 белых и 3 черных шара.

b) Так как извлечен белый шар — событие А, то условные вероятности этого события соответственно равны: Р (А /Я₄) = О, Р{А I Ну) —1/3, Р (А/Н₂) = 2/3, Р (А/Н_]) = 1. По формуле Байеса вычислим:

ПРИМЕР 12. Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

РЕШЕНИЕ. Пусть Я, Н₂, Я₃ — гипотезы, соответствующие выбору отчета первой, второй или третьей организации. Вероятности этих гипотез соответственно равны:

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события: А — выбран правильно оформленный отчет.

По формуле Байеса вычислим искомую вероятность:

Формула Байеса (2.15) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.