Свертка критериев. 
Системы поддержки принятия решений

Возможности аналитического решения многокритериальных задач весьма ограничены. Поэтому перед исследователями всегда стояла проблема объединения критериев (свертки) таким образом, чтобы перейти от многокритериальной задачи к нахождению оптимальных решений однокритериальных (одномерных) задач. Методы решения одномерных задач достаточно изучены и разработаны алгоритмы не только на сугубо математическом уровне, но и при решении задач в различных приложениях (технических, экономических, социально-гуманитарных и др.).

Обратите внимание!

Одним из наиболее распространенных подходов к свертке критериев можно считать оценку их относительной важности при помощи коэффициентов.

Суть аддитивного метода заключается в следующем. Целевая функция (обобщенный критерий) образуется путем сложения нормированных значений частных критериев. Частные критерии имеют, как правило, различную физическую природу и в соответствии с этим различную размерность. Поэтому при образовании обобщенного критерия следует оперировать не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями.

Определение.

Нормированным критерием называется отношение «натурального» частного критерия к некоторой нормирующей величине, измеренной в тех же единицах, что и сам критерий.

При этом выбор нормирующего делителя должен быть логически обоснован. Возможны несколько методов выбора нормирующего делителя.

Первый метод предлагает принимать в качестве нормирующего делителя директивные значения параметров, заданные заказчиком. Логически слабым местом метода является негласное предположение о том, что существуют или заданы оптимальные значения параметров изучаемого управленческого решения и что совокупность заданных значений критериев рассматривается как образцовая.

Второй метод предполагает выбор в качестве нормирующих делителей максимальных значений критериев, достигаемых в области существования решений (в области компромисса). Возможно использование процедуры, при которой в качестве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Выбор метода формирования частных критериев безразмерного формата часто носит субъективный характер и должен обосновываться в каждом конкретном случае. Пусть при анализе совокупности управленческих решений существует т частных критериев. Тогда целевая функция задачи оптимизации в случае применения аддитивного критерия определяется выражением.

где С_{ — весовой коэффициент /-го частного критерия; Ff (X) — нормирующий делитель; /.(X) — нормированное значение /-го частного критерия.

Формула (5.4.1) позволяет оценить компромисс, при котором улучшение значения одного нормированного частного критерия компенсирует ухудшение значений других.

Обратите внимание!

Введение

весовых коэффициентов должно учитывать различную значимость частных критериев при формировании аддитивного критерия.

связей между частными критериями различной размерности и выбором наилучшего варианта, и остаются лишь вычислительные трудности. Но аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из которых состоит в том, что он не вытекает из объективной роли частных критериев в функционировании и поэтому выступает как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид.

Другой недостаток заключается в том, что в аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка следует вводить ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов.

Несмотря на слабые стороны, обобщенный аддитивный критерий позволяет в ряде случаев успешно решать многокритериальные задачи и получать полезные результаты.

При решении практических задач довольно часто используются мульти— пликативпые критерии. Как уже отмечалось, аддитивные критерии основаны на использовании принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев. Но иногда целесообразным является оперирование не абсолютными, а относительными изменениями значений частных критериев.

Определение.

Принципом справедливой относительной компенсации называется соблюдение такого соотношения между значениями критериев, при котором суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

Условия оптимальности на основе принципа справедливой относительной компенсации имеют вид.

где А1*](Х) — приращение величины /‘-го критерия; F^X) — первоначальная величина /-го критерия.

Полагая, что Д/;(Х) условие оптимальности можно представить как дифференциал натурального логарифма, тогда получаем

Из этого выражения следует, что принцип справедливой относительной компенсации приводит к мультипликативному обобщенному критерию оптимальности:

Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения частных критериев в том случае, если все они имеют одинаковую важность. В случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты с, и мультипликативный критерий принимает вид

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировка частных критериев. К недостаткам критерия относится то, что его использование приводит к компенсации малого значения одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев^[1].

Рассмотренные подходы, кажущиеся на первый взгляд простыми и ясными, связаны с целым рядом проблем, корректно разрешить которые удается далеко не всегда. Более того, зачастую о многих из них не вспоминают или даже вовсе не подозревают.

Обратите внимание!

Безоговорочно рекомендовать конструирование обобщенных критериев в качестве метода анализа многокритериальных задач принятия сложных и ответственных решений нельзя.

И тем не менее взвешенная сумма критериев очень часто используется при анализе прикладных многокритериальных задач принятия решений.

• [1] Замечание. При использовании обобщенных критериев приходится оперировать ихзначениями, которые обычно лишены физического, содержательного смысла. Поэтому обоснование рекомендаций по результатам анализа задач принятия решения весьма затруднительно.