Максимизация ожидаемой полезности. 
Аксиомы Неймана-Моргенштерна

В большинстве случаев считается, что ЛПР пытается максимизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемый убыток. Однако иногда подобный критерий не совсем верный и нам понадобится сформулировать более соответствующий ситуации параметр. Для того, чтобы проиллюстрировать, почему для ЛПР не всегда приемлем критерий максимизации ожидаемого денежного выигрыша, изучим следующую ситуацию.

Предположим, что ЛПР должен сделать выбор из следующих двух альтернатив:

• * получить 1 000 000 у.е. наверняка;
• * задача, в которой с вероятностью 0,5 ЛПР выигрывает 2 100 000 у.е., либо же вероятностью 0,5 проигрывает 50 000 у.е.

Для того, чтобы сделать рациональный выбор из двух предложенных альтернатив, необходимо рассчитать ожидаемый денежный выигрыш для игры и сравнить полученные результаты.

Ожидаемый доход от второй альтернативы составит: 0,5 (2 100 000) + +0,5 (-50 000) = 1 025 000 у.е.

Если использовать параметр максимизации ожидаемого денежного выигрыша, ЛПР должен выбрать игру, а не получение суммы в один млн. у.е. наверняка. Однако большинство людей в подобной ситуации, скорее всего, предпочтут гарантированность выигрыша первой альтернативы, даже несмотря на то, что больший ожидаемый выигрыш соответствует игре, представленной второй альтернативой. Наоборот, в этом случае вполне вероятно, что президент крупной фирмы может выбрать второй вариант. Значит, на выбор предпочтительного оптимального решения оказывает влияние не только размер ожидаемого дохода от операции, но и отношение субъекта к риску.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что доход брокера может быть получен двумя способами: 15 000 у.е. в виде фиксированного заработка либо получение дохода от пакета акций с разбросом величины дохода от 10 000 у.е. до 30 000 у.е. Вероятность альтернатив получения дохода от пакета акций составляет 0,5. Функция полезности, отражающая соотношение уровня полезности и уровня дохода для рассматриваемых вариантов, представлена на рис. 3.2.

Приведенный рисунок показывает, что уровень полезности растет с 10 до 18 единиц по мере роста дохода с 10 000 у.е. до 30 000 у.е. При этом предельная полезность постепенно уменьшается.

Чтобы оценить новый пакет акций, брокер может подсчитать ожидаемую величину конечного дохода. Ожидаемая полезность является суммой полезностей, связанных со всеми возможными результатами, взвешенных на вероятность каждого из результатов. В данном случае для пакета акций она составит: Е (и) = 0,5−10 000 + 0,5−30 000 = 0,5−10 + 0,5−18 = =14.

Новый пакет акций, связанный с риском, является, соответственно, более предпочтительным, чем стабильный заработок, поскольку ожидаемая полезность 14 больше полезности 13 единиц, соответствующей доходу в 15 000 у.е.

Люди различаются по своей готовности пойти на риск. Некоторые не желают рисковать, некоторым это нравится, а иные к риску безразличны.

Человек, который предпочитает стабильный доход акциям, связанным с риском, является не расположенным к риску. Для него характерна низкая предельная полезность дохода. Не расположенность к риску — наиболее распространенный случай. Доказательство тому — огромное число ситуаций, при которых люди страхуются. Множество людей не только заключают договоры по страхованию жизни, здоровья, автомобиля, но также ищут работу с относительно стабильной заработной платой, вкладывают деньги в наиболее стабильные ценные бумаги.

Рис. 3 показывает не расположенность человека к риску. Допустим, что он может выбирать ценные бумаги со стабильным доходом 20 000 у.е. или пакет, состоящий из акций с доходом 30 000 у.е. и вероятностью 0,5, акции с доходом в 10 000 у.е. и вероятностью 0,5. В этом случае в среднем ожидаемый доход от владения пакетом рисковых акций составляет 20 000 у.е. Ожидаемая полезность пакета акций равна 14 (расчет приведен выше) и обозначена на рис. 3.2. точкой Е. Затем сравнивается ожидаемая полезность акций, связанных с риском, с полезностью стабильного дохода в 20 000 у.е. Уровень полезности стабильного дохода составляет 16 и на рис. 3.2. обозначен точкой Д. Очевидно, что ожидаемая полезность стабильного дохода на две единицы больше, чем полезность от пакета акций, связанных с риском. Значит, такой вид функции полезности описывает негативное отношение человека к риску.

Человеку, нейтрально относящемуся к риску, безразлично, получать ли стабильный доход или купить акций с неопределенным доходом. В этом случае ожидаемая полезность от этих двух вариантов должна быть одинакова.

На рис. 3 ожидаемая полезность, связанная с акциями, дающими доход 10 000 или 30 000 у.е. с одинаковой вероятностью 0,5, составляет 12, тогда как и ожидаемая полезность при получении стабильного дохода в 20 000 у.е. равна тоже 12.

Е (и) =.

0,5 -10 000 + 0,5 -30 000 = 0,5- (8) + 0,5 -(18) =12; Е (20 000) = = 12; 12 = 12.

Свидетельством расположенности к риску является, прежде всего, то, что многим-людям нравится предпринимательство. Некоторые криминалисты могут также характеризовать ряд уголовников как любителей риска, особенно когда грабеж сулит относительно высокую добычу, а угроза наказания невелика. Оставив эти особые случаи в стороне, можно утверждать, что очень немногие люди расположены к риску, в особенности в отношении крупных покупок или больших размеров прибыли, или ущерба.

Рис. 3 отражает расположенность к риску. В данном случае ожидаемая полезность дохода от владения пакетом акций выше, чем полезность стабильного дохода. В числовом выражении это выглядит следующим образом:

Е (и) = 0,5−10 000 + 0,5−30 000 = 0,5 -(3) + 0,5-(18) = 0,5; Е (20 000) = 8,8 < 10,5.

Рисунки, демонстрирующие вид функции полезности для различных по отношению к риску категорий субъектов, построены с использованием аксиом Неймана — Моргенштерна. Данные аксиомы были сформулированы Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном более 50 лет тому назад и характеризуют составные элементы рационального поведения субъекта. Исследуем содержание наиболее популярных аксиом.

Аксиома транзитивности Неймана — Моргенштерна предполагает, что предпочтения ЛПР являются транзитивными.

Например, если Вы предпочитаете исход, А исходу В, а исход В исходу С, то можно сделать вывод, что вы предпочитаете исход, А исходу С. Аксиома транзитивности играет важную роль в теории потребительского поведения.

Аксиома безразличия утверждает, что если имеется три возможных исхода — А, В и С и если ЛПР предпочитает исход, А исходу В, а исход В — исходу С, то должна существовать такая вероятность Р, что для ЛПР следующие две альтернативы будут иметь одинаковую ценность:

• 1) получить В наверняка;
• 2) игра, в которой ЛПР выигрывает, А с вероятностью Р, либо выигрываете с вероятностью (1 — Р).

Значение вероятности может быть больше или меньше, однако это не имеет принципиального значения. Важно то, что существует определенное значение Р, при котором для ЛПР будет безразлично: либо принять участие в игре, в которой можно выиграть, А или С, либо получить выигрыш В.

Аксиома независимости утверждает, что если выигрыши, А и В имеют для ЛПР одинаковую ценность, то одинаковую же ценность будут иметь для ЛПР два идентичных лотерейных билета, отличающихся лишь тем, что первый предлагает в качестве выигрыша А, а второй — В.

Аксиома рациональности предполагает, что ЛПР, которому предложено два лотерейных билета с идентичными призами, выберет билет с большей вероятностью выигрыша.

Ко многим выводам данных расчетов специалисты относятся критически. Обоснованием этого является чрезмерная упрощенность реальности, которая представлена посредством данных моделей. С этим сложно не согласиться. Однако для теоретической науки подобные модели являются весьма интересными и заслуживают того чтобы быть изученными.