Разложение функций в степенные ряды. 
Ряд Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь заданную функцию f (x) представлять в виде разложения в степенной ряд.

Ряд Тейлора и Маклорена Пусть функция y=f (x) имеет в точке x0 и некоторой ее окрестности производные любого порядка.

называется рядом Тейлора для функции f (x).

Если же для всех значений x из некоторой окрестности точки x0 ряд сходится и имеет суммой f (x), то есть.

.

то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x0 (или по степеням).

Если, то ряд Тейлора имеет вид.

и называется рядом Маклорена.

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x0, необходимо и достаточно, чтобы.

.

Rn (x) — остаточный член ряда Тейлора.

Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид.

, .

Теорема 2.4. Если функция может быть разложена в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) При разложении функции в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

I. Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора, которое состоит из трех этапов:

a) формально составляют ряд Тейлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (2.11);

b) находят область сходимости ряда (2.11);

c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда, т. е., для каких x имеет место равенство.

.

II. Использование готовых разложений.

Найдем разложение в степенной ряд некоторых функций.

1. .

Последовательно дифференцируя функцию, получим:

, …,, …

Вычислим значение функции и ее производных при :

, …,, …,.

Подставив значения производных в ряд (2.12), получим.

Найдем радиус сходимости полученного степенного ряда:

.

Следовательно, ряд сходится при всех значениях.

Рассмотрим остаточный член ряда в форме Лагранжа:

.

Так как есть величина ограниченная, а второй сомножитель стремится к нулю при, то.

.

а, следовательно, ряд сходится к функции для любого x.

Итак, при.

2. .

Заменив в формуле (2.13) x на (-x), получим ряд.

также сходящийся на .

3., .

Вычислим значения функции и ее производных при :

;

;

;

;

.

Подставляя найденные значения в (2.12), получим степенной ряд.

Так как при всех, то остаточный член будет стремиться к нулю для любого :

.

Определим интервал сходимости ряда.

.

.

Вычислим.

.

Таким образом, при.

4., .

Ряд для функции можно получить почленным дифференцированием ряда Маклорена для функции :

.

Область сходимости полученного ряда .

5. Рассмотрим ряд.

.

который при представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем.

Тогда, при.

Заменив в формуле (2.17) x на (-x), получим ряд.

Область сходимости полученных рядов (-1;1).

6., .

Рассмотрим следующее тождество:

.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по формуле:

.

который сходится для значений t, удовлетворяющих неравенству .

Так как в интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать, то для имеем.

При получим условно сходящийся знакочередующийся числовой ряд .

Таким образом, если, то.

7. ,.

Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию, для чего в разложении (2.18) заменим x на (-x2):

.

,.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.