Распространение электромагнитных волн в волноводах

Для гармонических волн уравнения Максвелла (1.16) — (1.19) приводят к векторному уравнению Гельмгольца для комплексных амплитуд:

E + k2E = 0,.

которое при заданных граничных условиях лишь в случае сферической или цилиндрической симметрии, когда электромагнитное поле можно представить в виде суммы двух векторных полей, каждое из которых определяется через скалярную функцию, удовлетворяющую скалярному уравнению Гельмгольца (7.1).

Вектор Герца Введем электрический Пе и магнитный Пм векторы Герца, имеющие лишь одну ненулевую компоненту, направленную вдоль оси цилиндрической системы координат, и связанные с электрическим и магнитным полями соотношениями:

E = k02Пе + grad div Пе = ik rot Пм, (9.1).

Н = -ik0 rot Пе = k02Пм + grad div Пм. (9.2).

Легко убедиться, что векторы Е и Н (комплексные амплитуды электрического и магнитного полей в гармонической волне) удовлетворяют уравнениям Максвелла (1.16) — (1.19) в том и только в том случае, если векторы Герца Пе и Пм удовлетворяют уравнениям Гельмгольца П + k2П = 0, (9.3).

где k2 = k02.

С учетом соотношения (9.3) можно переписать формулы (9.1) и (9.2) в симметричном виде:

E = rot rot Пе = ik0 rot Пм, (9.4).

H = rot rot Пм = -ik0 rot Пе. (9.5).

Поскольку векторы Пе и Пм имеют только z-компоненту, уравнение (9.3), соответственно, является скалярным уравнением Гельмгольца вида (7.1).

Цилиндрические волны Запишем скалярное уравнение Гельмгольца (7.1) для электрического вектора Герца в произвольной цилиндрической системе координат u1, u2, z:

где h1 и h2 — коэффициенты Ламе цилиндрической системы координат. Например, при u1 = r, u2 =, получаем h1 = 1, h2 = r. Ищем общее решение уравнения (9.6) методом разделения переменных.

где h — продольное волновое число. Тогда функция Пе (u1, u2) должна удовлетворять уравнению.

. (9.8).

Для круговой цилиндрической системы координат u1 = r, u2 = уравнение (9.8) принимает вид:

. (9.9).

Переменные в уравнении (9.9), в свою очередь, можно разделить, и записать решение в виде Пе (r,) = f1®f2(), (9.10).

(9.11).

. (9.12).

Нетрудно видеть, что уравнение (9.11) является уравнением Гельмгольца, его общее решение имеет вид f2() = exp (ip). Уравнение (9.12) является уравнением Бесселя, его общее решение может быть выражено через цилиндрическую функцию порядка р:. Здесь Zp (x) = C1Jp (x) + C2Np (x), Jp (x) и Np (x) — соответственно функции Бесселя и Неймана порядка р. Частное решение уравнения (9.6) в круговой цилиндрической системе координат имеет вид.

. (9.13).

Если область пространства, в которой распространяется электромагнитная волна, не ограничена по, то из условия однозначности следует, что число р — целое, то есть p = n.

Таким образом, элементарная цилиндрическая волна (9.13) определяется тремя числами k, h, n. Общий вид волны получается суммированием по всем n:

(9.14).

где коэффициенты an определяются из граничных условий. Аналогично находится решение для магнитного вектора Герца, затем по формулам (9.1), (9.2) или (9.4), (9.5) находят поля Е и Н.

Например, если Пм = 0, то получается волна Е, или ТМ (поперечно-магнитная):

Если же Пе = 0, то получается волна Н, или ТЕ (поперечно-электрическая):

(9.16).

Нетрудно показать, что для обоих типов волн (ЕН) = Е1Н1 + Е2Н2 = 0, то есть, в плоскости z = 0 векторы Е и Н ортогональны. Для волны Е в этой плоскости вектор Е совпадает по направлению с градиентом Пе (u1, u2), а магнитные силовые линии совпадают с линиями Пе (u1, u2) = const. Для волны Н магнитные силовые линии направлены вдоль градиента Пм (u1, u2), а электрические — совпадают с линиями Пм (u1, u2) = const.

Волноводы Металлический волновод является линией передачи электромагнитной энергии, поле в нем может быть определено двумя скалярными функциями Пе (u1, u2) и Пм (u1, u2), удовлетворяющими уравнению (9.8). Граничным условием является равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля Е на поверхности волновода. Введем в волноводе декартову систему координат, то есть коэффициенты Ламе h1 = h2 =1. Положим, что внутри волновода = = 1, то есть k = k0. Тогда из уравнений (9.15) и (9.16) получаем:

Здесь и — единичные векторы касательной и нормали к контуру С поперечного сечения волновода. Следовательно, граничные условия для векторов Герца имеют вид:

. (9.18).

Отметим, что если k = h, то из уравнений (9.15) и (9.16) следует, что всюду в волноводе Ez = 0 и Hz = 0 (ТЕМ-волна), и граничные условия выполняются при.

В этом случае уравнение (9.8) принимает вид Пе, м = 0 и имеет только тривиальное решение. Следовательно, ТЕМ-волна в волноводе невозможна.

Уравнение (9.8) для Пе с граничными условиями (9.17) или для Пм с граничными условиями (9.18) — задача на собственные значения параметра.

2 = k2 — h2. Ненулевые решения соответствуют последовательности дискретных возрастающих собственных значений, а соответствующие этим значениям функции Пе и Пм называются собственными функциями волновода. Эти функции, как и собственные значения, для Еи Н-волн, вообще говоря, разные. Каждому собственному значению n соответствует продольное волновое число, и нормальные волны определяются из уравнения (9.7).

Для того чтобы волна распространялась вдоль оси z, необходимо, чтобы волновое число hn было действительным, то есть. Следовательно, условие kкр = 1 определяет критическую частоту или критическую длину волны в волноводе. Волны с большей длиной в волноводе не распространяются, для них волновое число hn мнимое.

Периодичность поля в волноводе вдоль оси z определяется, в силу формулы (9.7), продольным волновым числом h, поэтому для длины волны в волноводе получим:

. (9.19).

Для фазовой и групповой скоростей волны в волноводе получим:

(9.20).

. (9.21).

Следовательно,.

vфvгр = с2. (9.22).

Из уравнений (9.20) и (9.21) следует, что в волноводе существует дисперсия. При << кр дисперсия практически отсутствует и vф vгр с.

В качестве примера рассмотрим прямоугольный волновод сечением ab, предполагается, что a > b. В этом случае u1 = x, u2 = y, h1 = h2 = 1 и уравнение (9.8) принимает вид.

2П/x2 + 2П/y2 + 2П = 0.

Будем решать его методом разделения переменных П (x, y) = X (x)Y (y), тогда для функция X (x) и Y (y) получаем уравнения.

.

решения которых имеют вид:

X = A1sin (xx) + B1cos (xx), Y = A2sin (yy) + B2cos (yy).

Для волны типа Е граничное условие (9.17) означает, что.

X (0) = X (a) = Y (0) = Y (b) = 0,.

то есть.

B1 = B2 = 0, x = m/a, y = n/b, m, n = 1, 2, … .

Таким образом, собственные функции, определяющие поле Em, n в прямоугольном волноводе, имеют вид.

(9.23).

а собственные значения, соответственно:

.

гельмгольц уравнение скалярный волновод Минимальное собственное значение соответствует m = n = 1, то есть наибольшей критической длиной волны среди волн типа Em, n в прямоугольном волноводе обладает волна Е1,1. Для этой волны.

. (9.24).

Для волны типа Н условие (9.18) означает, что.

.

то есть А1 = А2 = 0, а собственные функции имеют вид:

. (9.25).

Здесь одно из чисел m или n может быть равно нулю, критическая длина волны соответствует наименьшему собственному значению, то есть.

кр = 2/1,0 = 2а. (9.26).

Такую длину имеет волна Н1,0 — основная для прямоугольного волновода. Нетрудно показать, что для волны Н1,1, для волны Н0,1 кр = 2b, для волны Н2,0 кр = a, и т. д.

Структура поля в поперечном сечении волновода для волн различных типов приведена на рис. 9.1.

Для потока энергии, переносимого через поперечное сечение волновода в нормальной волне, можно получить соотношение.

. (9.27).