Числовые множества и их границы

Примеры числовых множеств:, а так же любое непустое конечное множество чисел.

Наиболее часто встречающиеся примеры числовых подмножеств — числовые промежутки. Для их определения необходимо задать два числа. Так же.

Определение (1.26). Множество.

называется открытым промежутком или интервалом. [1].

Определение (1.27). Множество.

называется замкнутым промежутком или отрезком. [1].

Определение (1.28). Множества.

называются полуоткрытыми промежутками или полуинтервалами. [1].

Определение (1.29). Множества.

называются открытыми лучами или полубесконечными интервалами. 1].

Определение (1.30). Множества.

называются полубесконечными отрезками. [1].

Иногда минус бесконечность и плюс бесконечность присоединяют к множеству и постулируют, что. Поэтому множество мы можем записать в виде интервала. Присоединив элементы и к множеству, получим упорядоченное расширение множества.

и играют роль самого маленького и большого числа соответственно, хотя числами они не являются. [1].

Так же можно ввести понятие ограниченного множества, нижней и верхней границ.

Определение (1.31). Числовое множество называется ограниченным сверху, если. Число называется верхней границей множества. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей множества и обозначается. [1].

Определение (1.32). Числовое множество называется ограниченным снизу, если Число называется нижней границей множества. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей множества и обозначается символом. [1].

Определение (1.33). Числовое множество называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу. [1].

Существует теорема, которая говорит, что если множество ограниченно сверху, то существует единственное число, а если снизу, то существует единственное число. Эта теорема решает проблему существования у числовых множеств точных границ. Эта проблема имеет в математическом анализе фундаментальное значение.

Иногда целесообразно рассматривать точные верхнюю и нижнюю грани неограниченных множеств. Тогда по определению полагают, что.

.

если множества непустые и не ограничены ни снизу, ни сверху. [1].

И так же для пустого множества естественно принять такое определение:

[1].

Теперь можно говорить, что множество действительных чисел введено.