Наиболее популярным способом сжатия данных в многомерном анализе является метод главных компонент (PCA). С математической точки зрения PCA — это декомпозиция исходной матрицы X, т. е. представление ее в виде произведения двух матриц T и P
X = TPt + E.
Матрица T называется матрицей счетов (scores), матрица P — матрицей нагрузок (loadings), а E — матрицей остатков.
Простейший способ найти матрицы T и P — использовать SVD разложение через стандартную функцию MatLab, называемую svd.
function [T, P] = pcasvd (X).
% pcasvd: calculates PCA components.
% The output matrices are T and P.
% T contains scores.
% P contains loadings.
[U, D, V] = svd (X);
T = U * D;
P = V;
%end of pcasvd.
PCA/NIPALS
Для построения PCA счетов и нагрузок, используется рекуррентный алгоритм NIPALS, который на каждом шагу вычисляет одну компоненту. Сначала исходная матрица X преобразуется (как минимум — центрируется; см. раздел 4.3) и превращается в матрицу E0, a=0. Далее применяют следующий алгоритм.
- 1. Выбрать начальный вектор t
- 2. pt = tt Ea / ttt
- 3. p = p / (ptp)Ѕ
- 4. t = Ea p / ptp
- 5. Проверить сходимость, если нет, то идти на 2
После вычисления очередной (a-ой) компоненты, полагаем ta=t и pa=p. Для получения следующей компоненты надо вычислить остатки Ea+1 = Ea — t pt и применить к ним тот же алгоритм, заменив индекс a на a+1.
Код алгоритма NIPALS может быть написан и самими читателями, в данном же пособии авторы приводят свой вариант. При расчете PCA, можно вводить число главных компонент (переменная numberPC). Если же не известно, сколько необходимо компонент, следует написать в командной строке [P, T] = pcanipals (X) и тогда программа задаст число компонент равным наименьшему из показателей размерности исходной матрицы X.
