Линейная пространственная фильтрация

Понятие линейной фильтрации тесно связано с преобразованием Фурье при об работке сигналов в частотной области. Здесь рассматриваются операции фильтрации, непосредственно применяемые к пикселям изображения. Использование термина линейная про странственная фильтрация подчеркивает отличие этого процесса от фильтра ции в частотной области.

Линейные операции, рассматриваемые в настоящей главе, состоят из множе ния каждого пикселя окрестности на соответствующий коэффициент и суммиро вание этих произведений для получения результирующего отклика процесса в каждой точке (x, у). Если окрестность имеет размер m*n, то потребуется mn коэффициентов. Эти коэффициенты сгруппированы в виде матрицы, которая называется фильтром, маской, фильтрующей маской, ядром, шаблоном или окном, причем первые три термина являются наиболее распространенными.

Механизм линейной пространственной фильтрации проиллюстрирован на рисунке 1.6. Процесс заключается в перемещении центра фильтрующей маски w от точки к точке изображения f. В каждой точке (х, у) откликом фильтра является сумма произведений коэффициентов фильтра и соответствующих пикселов окрестности, которые накрываются фильтрующей маской. Для маски размера mхn обычно предполагается, что m = 2а + 1 и n = 2b+1, где, а и b — неотрицательные целые числа, то еесть основное внимание уделяется маскам, имеющим нечетные раз меры, причем наименьшим содержательным размером маски считается размер 3×3 (маска 1×1 исключается как тривиальная). Преимущественное обращение с масками нечетных размеров является вполне обоснованным, поскольку в этом случае у маски имеется выраженная центральная точка.

Увеличенный рисунок показывает маску 3×3 и соответствующий фрагмент изображения под ней, кото рый несколько смещен для удобства прочтения формул Имеется две тесно связанные концепции, которые необходимо хорошо пони мать при совершении линейной пространственной фильтрации. Первая — это корреляция, а вторая — свертка. Корреляция состоит в прохождении маски w по изображению f, показанному на рисунке 1.6. С точки зрения механики процесса, свертка делается так же, но маску w надо повернуть на 180° перед прохождением по изображению f. Две эти концепции лучше всего объяснить на простых примерах.

Изображена одномерная функция f и маска w. Началом функции f считается ее самая левая точка. Чтобы совершить корреляцию этих двух функций, перемещаем w так, чтобы ее самая правая точка совпала с началом f. Заметим, что имеются точки на обеих функциях, которые не перекрываются. Для решения этой проблемы предполагается, что функция f равна нулю везде, где это необходимо, чтобы гарантировать наличие соответствующих точек на f при прохождении над ней маски w.

Теперь все готово для совершения корреляции. Первым значением корреля ции является сумма поэлементных произведений двух функций в положении. В этом случае сумма произведений равна 0. Затем маска w перемещается на один шаг вправо и процесс вычисления повторяется Сумма произведений опять равна 0. После четырех сдвигов нам встретится первое ненулевое значение 2×1 = 2. Продолжая так же до тех пор, пока w полностью пройдет f мы получим результат. Эта строка чисел и является корреляцией w и f. Отметим, что если бы мы зафиксировали w, а перемещали бы f, то результат был бы иным, так что порядок операции здесь имеет значение.

Метка 'full' над результатом корреляции является флагом (он будет обсуждаться позже), который предписывает применение корреляции с расширением изображения. Пакет имеет и другую опцию, 'same' когда вычисляется корреляция, размер которой совпадает с размером исходного изображения f. Эти вычисления так же используют расширение нулями, но начальная позиция центральной точки маски (это точка с отметкой 3) совмещается с началом f. Последнее вычисление производится, когда центральная точка маски совмещается с концом f.

Для совершения свертки необходимо повернуть маску w на 180° и совместить ее самый правый конец с началом f. Затем процесс скольжения/вычисления совершается как при получении корреляции. Он проиллюстри рован от л) до о). Результаты свертки с флагами 'full' и 'same' показаны, соответственно.

Функция f является дискретным единичным импульсом, т. е. она равна 1 только в одной координате, а во всех остальных она равна 0. Из ре зультатов, (п или р) видно, что свертка просто «копирует» w в то место, где был единичный импульс. Это простое свойство копирования (называ емое сдвигом) является фундаментальной концепцией теории линейных систем, чем объясняется необходимость поворота одной из функций на 180° при выполне нии операции свертки. Перестановка порядка функций при свертке даст тот же самый результат, чего не происходит при корреляции. Если сдвигае мая функция является симметричной, то, очевидно, корреляция и свертка дают одинаковые результаты.

Представленные концепции легко обобщаются на двумерные функции. Начало находится в верхнем левом углу изображения f (x, у). Для совершения корреляции надо поместить нижнюю правую точку w (x, у) так, чтобы она совпала с началом f (x, у). Для совершения корреляции надо перемещать w (x, у) по всем возможным положениям, так чтобы хоть один пиксел маски перекрывался с пикселами изображения f (x, y). Резуль тат корреляции 'full). Чтобы получить корреляцию 'same' необходимо перемещать маску так, чтобы ее центр перекрывал исходное изображение f (x, y).

Для совершения свертки необходимо сначала повернуть w (x, y) на 180° и со вершить ту же процедуру, что и при вычислении корреляции. Свертка дает одинаковый результат независимо от того, какая из двух функций подвергается переме щению. При нахождении корреляции порядок функций имеет значение. Результаты корреляции и свертки получаются друг из друга поворотом на 180°. В этом нет ничего удивительного, так как свертка это не что иное, как корреляция с повернутой фильтрующей маской.