Ядерные оценки плотности

В предположении непрерывности неизвестной плотности f(x) представляется целесообразным «размазать» каждый атом эмпирической меры, т. е. рассмотреть линейные оценки, введенные в нашей первой работе по нечисловой статистике [4, с.24]:

(2).

в которых действительнозначные функции gn удовлетворяют некоторым условиям регулярности, обсуждаемым ниже. Ядерные оценки плотности — это линейные оценки (2), в которых слагаемые имеют специальный вид.

Пусть d — показатель различия (синоним — мера близости) на Z [1] (в наиболее важных частных случаях — метрика на Z). В докладе [5] нами введены ядерные оценки плотности — оценки вида (2) с.

(3).

Где.

K = K(u).

— ядро (ядерная функция), hn — последовательность положительных чисел (показателей размытости), b(hn, x) — нормировочный множитель. В статье [6] линейные оценки (2) с функциями gn из (3) названы «обобщенными оценками типа Парзена — Розенблатта», т.к. в частном случае.

Z = R1, d(x, Xi) = | x — Xi |, b(hn, x) = hn

они переходят в известные оценки, введенные Розенблаттом [7] и Парзеном [8]. Поскольку Парзен и Розенблатт никогда не рассматривали оценки вида (2) для пространств произвольной природы, далее будем называть эти оценки ядерными.

Согласно [2] линейные оценки (2) удовлетворяют условию нормировки:

. (4).

Из условия нормировки следует, что b(hn, x) — нормировочный множитель b(hn, x) имеет вид.

Введем шар радиуса t с центром в точке x:

Lt(x) = {y: d(x, y) < t} (6).

(в соответствии с замечанием после условия (IV) статьи [2] шар Lt(x) — измеримое множество, т. е.). Зависимость меры шара от радиуса обозначим.

. (7).

Справедливо полезное для дальнейших рассуждений равенство.

. (8).

Для ядерных оценок (3) рассмотрим условия (I) — (VII), введенные в статье [2] для линейных оценок.

С учетом (8) условие (I) переходит в следующее:

. (9).

При рассмотрении условия (VI) естественно принять, что для любой окрестности U(x) точки x найдется положительный радиус t > 0 такой, что шар Lt(x) содержится в U(x), т. е. топология в Z порождена системой шаров Lt(x),, t > 0. Тогда вместо (VI) получаем условие:

(10).

для любого t > 0.

Замечание. Симметричность меры близости d, т. е. свойство d(x, y) = d(y, x), в настоящей статье не используется. Примером несимметричного показателя различия является.

. (11).

Имеем взамен условия (VII).

. (12).

Формулировки условий (II), (IV), (V) нет оснований.

Из теорем 1 и 2 статьи [2] вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнены соотношения (5), (9), (10), а также условия (II), (IV), (V) статьи [2]. Тогда ядерная оценка плотности (2) — (3) является состоятельной, причем

. (13).

Если, кроме того, выполнено (12) и условия

(14).

то fn(x) — состоятельная и асимптотически нормальная оценка плотности f в точке x.

Для доказательства достаточно сослаться на результаты статьи [2] о линейных оценках и доказать соотношение (18) этой статьи, т. е.

. (15).

Имеем с учетом условия (II) статьи [2].

(16).

откуда в соответствии с (14) следует (15). Теорема 1 доказана.

Если ядерная функция K(u) является финитной, т. е. K(u) = 0 при u > u0, то значение оценки плотности fn(x) определяется только по элементам выборки Xi, для которых.

d(x, Xi) < u0hn.

Поскольку предполагаем, что при, то fn(x) определяется по сужающейся окрестности, а верхние пределы интегрирования в формулах (8) — (10), (12) можно заменить на u0hn. Поскольку при, то соотношение (10) выполнено автоматически. Если K(u) — ограниченная функция, то (9) и (12) также выполнены. Вместо условия (II) статьи [2] достаточно ограниченности f в некоторой окрестности x, а это вытекает из непрерывности f. Согласно сказанному получаем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть K — ограниченная финитная функция, при, справедливы условия (IV), (V) статьи [2] и следствие условия нормировки (5). Тогда выполнено (13). Если, кроме того, справедливы условия (14), то fn(x) — состоятельная и асимптотически нормальная оценка плотности f в точке x.