Колебания комбинированного осциллятора

• Введение
• 1. Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний
• 1.1 Маятник под воздействием силы тяжести и силы электростатического взаимодействия
• 1.2 Колебания стержня под действием сил тяжести и упругости
• 1.3 Маятник под действием упругих сил и силы тяжести
• 1.4 Колебания под действием различных сил тяжести
• 2. Колебания маятника с затуханием
• Выводы
• Список использованных источников

Комбинированный осциллятор — маятник, находящийся под воздействием нескольких сил различной физической природы, обеспечивающих возвращение отклоненного тела к одному и тому же положению устойчивого равновесия. Будем считать, что осциллятор совершает одномерные движения. Поэтому комбинацию математического маятника и пружинного маятника, показанную на рис. 1, рассматривать не будем, поскольку здесь меняются как угол отклонения, так и длина маятника. Это колебания с двумя степенями свободы.

Рисунок.1 — Математический маятник на упругом подвесе: ;

— силы, действующие на маятник, — коэффициент жесткости пружины, — сила упругости пружины, — ускорение свободного падения.

Таким образом, целью данной работы является изучение одномерных колебаний комбинированного маятника.

В работе рассматриваются различные примеры комбинированных маятников, а также проводятся численные расчеты и построение фазовой траектории комбинированного маятника из лабораторной работы.

Цель работы: изучить движения комбинированного осциллятора и рассмотреть различные примеры комбинированных осцилляторов.

Задачи: получить соотношение для частоты колебаний комбинированного осциллятора и построить график движения осциллятора, фазовую траекторию и примерный спектр колебаний.

1. Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний

1.1 Маятник под воздействием силы тяжести и силы электростатического взаимодействия

Рассмотрим следующую задачу. Положительный заряд q сосредоточен на материальной точке массой m, которая подвешена в вакууме на невесомой нерастяжимой непроводящей нити длины l на высоте h над проводником (электропроводность которого бесконечна), занимающим нижнее полупространство. Граница раздела вакуума и металла — плоскость. Материальную точку отклоняют на малый угол от положения устойчивого равновесия. Найти собственную частоту колебаний такого комбинированного осциллятора.

Принять AB = BC = h; AD = Дh; l = - длина нити; - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку Р.

Рисунок 2 — Заряженная материальная точка, колеблющаяся над проводящим полупространством: — - сила тяжести, — сила Кулона, — скорость маятника, — сила натяжения нити, — момент сил, действующих на маятник, — угловая скорость маятника, Ме — металлическая пластина, С — точка, в которой находится заряд-изображение, О — точка подвеса маятника, А — положение равновесия маятника, D — проекция положения маятника на вертикальную ось, б — угол отклонения от положения устойчивого равновесия, которое совпадает с прямой ОС.

На точку действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила электростатического (кулоновского) взаимодействия (рис. 2).

Рассмотрим подробнее силу кулоновского взаимодействия Fk.

Заряд +q перераспределяет свободные электроны проводника. В результате на поверхности раздела появляется отрицательный заряд по величине равный заряду q. Между исходным зарядом и наведенными зарядами возникает электростатическое взаимодействие. При колебаниях поверхностные заряды будут перемещаться, возникнут токи, что приведет к выделению джоулева тепла и магнитному взаимодействию. Однако, в хорошем металлическом проводнике (с бесконечной электропроводностью) при малых скоростях движения зарядов этими явлениями можно пренебречь.

Величину и направление кулоновской силы можно найти из сравнения картины силовых линий электрического диполя и картины силовых линий заряда, подвешенного над идеальным проводником. Силовые линии входят в проводник под прямым углом и их густота тем больше, чем ближе точка на поверхности проводника к точке B, лежащей на оси симметрии картины. Таким образом, картина силовых линий для рассматриваемого случая аналогична картине силовых линий диполя с расстоянием между положительным и отрицательным точечными зарядами равным 2h. Тогда Fk = для оси симметрии. Это поле неоднородно, но для малых колебаний момент кулоновской силы, как и момент силы тяжести можно считать пропорциональным углу б.

При отклонении нити на угол б материальная точка поднимается на высоту Дh = l (1 — cos б). Это приводит к изменению величины силы Fk:

Fk = .

где — постоянная кулоновского взаимодействия , — высота маятника над плоскостью .

Однако, при малых колебаниях, когда с достаточной точностью выполняется равенство

при, где :

<< 1 т. е. << 1,

так как при малых

.

силу кулоновского взаимодействия заданного заряда и наведенных поверхностных зарядов можно считать неизменной.

Момент инерции маятника (относительно оси вращения О параллельной поверхности идеального проводника)

J0 = ml2,

где l — длина нити , — масса маятника , — момент инерции маятника .

Момент сил, действующих на материальную точку

N = (mg + Fk) lsinб. (1)

где PD = l sinб — плечо действующих сил , — момент сил. Сам вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа, а знак проекции определяется углом .

Связь между векторами скорости, угловой скорости и вектором направленным от центра вращения по радиусу к материальной точке задается соотношением:

= [,],

где — вектор скорости тела , — угловая скорость тела , — вектор, задающий положение тела, .

Если скорость материальной точки направлена влево, то угловая скорость и момент импульса = J0 направлены против момента сил. Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения (уравнение моментов) запишется в виде

J0б" = - (mg + Fk) lsinб, (2)

где угловое ускорение .

Тогда из (2) с учетом малости колебаний (sin б? б) получаем

б" + lб = 0.

В соответствии со стандартными обозначениями щ02 =, где щ0 собственная частота. Если бы заряда на материальной точке не было, то щ012 = mg/J0. Если бы можно было «отключить» силу тяжести, то щ022 = Fk/J0. Поэтому мы можем записать щ02 = щ012 + щ022. Если бы возвращающий момент обеспечивали n сил различной физической природы, то

. (3)

где — собственная частота колебаний маятника, движущегося только под действием силы .

Разумеется, это соотношение верно только для малых колебаний.

Рассмотрим еще несколько примеров, подтверждающих справедливость (3).

1.2 Колебания стержня под действием сил тяжести и упругости

Найдем круговую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массы и длины вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. Жесткость пружины, ее масса пренебрежимо мала. В положении равновесия стержень вертикален.

Рисунок 3 — Весомый стержень, связанный с пружиной со стенкой: ;

— сила упругости пружины, — сила тяжести, — угол отклонения стержня от вертикали, — длина стержня.

Движение стержня происходит под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости пружины .

Пусть длина стержня равна. Запишем уравнение динамики вращательного движения для стержня, учитывая, что момент инерции стержня относительно его конца равен .

Уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

где в правой части стоит сумма моментов всех сил, действующих на стрежень.

Вычислим все моменты, действующие на стержень. Для этого рассмотрим отклонения стержня от положения равновесия на угол .

Момент силы тяжести:

.

Момент силы упругости:

представляет собой силу упругости пружины, умноженную на плечо действия этой силы. Сила упругости рассчитывается как произведение жесткости пружины на ее растяжение. Последнее представляет собой растяжение, возникающее при повороте на небольшой угол. Причем так как — малый угол, то рассматриваемое удлинение можно представить как, т. е. фактически заменить небольшой отрезок прямой длиной окружности.

Учитывая далее, что данные моменты направлены одинаково, но противоположно смещению, записываем основное уравнение динамики вращательного движения:

.

Из-за того, что угол отклонения — мал, то. Тогда предыдущее уравнение принимает вид:

.

Последнее уравнение, как известно, представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой:

.

где — частота колебаний только под действием сил тяжести, — частота колебаний только под действием упругой силы.

Полученное выражение подтверждает (3).

1.3 Маятник под действием упругих сил и силы тяжести

Найдем частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4 Известны радиус блока, его момент инерции относительно оси вращения, масса тела и жесткость пружины. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

Рисунок 4 — Комбинированный маятник: — - сила тяжести, — сила натяжения нити, к которой крепится груз, — сила натяжения нити, к которой крепится пружина, — жесткость пружины, — ускорение движения груза, — ускорение свободного падения.

Рассмотрим движение груза относительно положения равновесия. Пусть координата груза (отсчитывается вниз)

Найдем начальное удлинение пружины. Для этого учтем, что когда система покоится нить натянута одинаково по всей длине. Тогда вес тела должен уравновешиваться силой упругости растянутой пружины:

.

где — начальное удлинение пружины .

Рассмотрим теперь положение груза в точке с координатой. Пусть в этот момент ускорение груза равно. Тогда второй закон Ньютона для груза имеет вид:

.

Из-за того, что пружина невесома, то натяжение нити всегда равно по модулю силе упругости пружины, т. е.:

.

Из-за разности в натяжении нити по обе стороны от блока на последний действует момент сил, равный:

.

Запишем для блока основное уравнение динамики вращательного движения:

.

Далее учтем, что так как нить по блоку не скользит, то угловое ускорение блока связано с ускорением груза:

.

Кроме того, аналогичным соотношением связаны линейное перемещение груза и угловое перемещение блока:

.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения перепишется в виде:

.

Угловое ускорение:

Тогда уравнение движения можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний с частотой:

где — частота колебаний системы, находящейся под действием упругих сил и силы тяжести (рис.4). При отсутствии пружины система не будет совершать колебаний.

1.4 Колебания под действием различных сил тяжести

Рассмотрим однородный цилиндрический блок массы и радиуса может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис. 5). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла. Найти частоту малых колебаний системы.

Пусть — масса груза А. Запишем условие равновесия системы при угле. Для этого учтем, что момент силы тяжести тела равен. Момент же силы тяжести груза, А равен. В положении равновесия оба эти момента должны уравновешивать друг друга:

.

Сместим тело из положения равновесия на угол. Тогда момент силы тяжести, действующей на тело станет равным:

.

Рисунок 5 — Общий вид колебательной системы: — - сила тяжести, действующая на груз, — сила тяжести, действующая на тело массы , — радиус блока, — сила натяжения нити.

Знак «-» говорит о том, что этот момент направлен против смещения, а значит, момент возвращающий и обеспечивает возврат системы в положение равновесия, то есть процесс носит колебательный характер.

Момент силы натяжения нити:

.

Тогда уравнение движения блока можем записать в виде:

где — момент инерции блока и закрепленного на нем тела.

Запишем еще уравнение движения для груза А:

.

Отсюда

.

Из-за того, что нить нерастяжима, то линейное ускорение груза связано с угловым ускорением блока соотношением:

.

Следовательно,

.

Тогда уравнение движения блока примет вид:

Распишем в последнем выражении синус суммы:

.

Из-за малости угла (рассматриваются именно малые колебания), то

.

Следовательно,

Используя найденную выше связь между массами тел, получаем:

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний с частотой:

.

Полученная формула не имеет вида (3), хотя эта колебательная система, как и предыдущая, находится под действием нескольких сил, но это не комбинированные маятники, поскольку выражения для частоты колебаний не приводится к виду (3). Это происходит потому, что «возвращающая» сила по существу одна.

2. Колебания маятника с затуханием

Примем следующие параметры системы:

— длина нити;

— поверхностная плотность заряда плоскости;

— заряд шарика;

— масса шарика;

Частота колебаний, связанная с гравитационным взаимодействием:

.

Частота колебаний, связанная с электростатическим взаимодействием:

.

Собственная частота комбинированных колебаний:

.

Коэффициент затухания примем равным: .

Рассмотрим возможные причины затухания колебаний заряда над металлической поверхностью. Колебания в данной системе проходит из-за изменения величины электрического дипольного момента системы состоящей из заряженного шарика и его изображения в металле. Это потери на излучение электромагнитных волн. При малых частотах колебаний эти потери незначительны, так как мощность, излучаемая в виде электромагнитных волн пропорциональна четвертой степени частоты. При малых частотах потери на излучение сравнимы или даже меньше потерь на работу против сил вязкого трения маятника о воздух.

Частота затухающих колебаний осциллятора:

.

Если начальное отклонение шарика:, то уравнение затухающих колебаний шарика имеем вид:

.

Зависимость угловой скорости осциллятора от времени:

.

По полученным уравнениям колебаний составляем таблицу расчетных значений для построения фазовой траектории и графика колебаний.

Таблица 1.

Зависимости угла поворота и угловой скорости комбинированного маятника от времени (

Изобразим данный колебательный процесс графически.

Рисунок 6 — График затухающих колебаний комбинированного осциллятора при, .

Рисунок 7 — Фазовая траектория комбинированного осциллятора при, .

Изобразим примерный спектр колебаний, учитывая, что частота колебаний, равна. Из-за наличия затухания такой спектр будет иметь колоколообразную форму с максимум на частот колебаний.

Рисунок 8 — Примерный спектр комбинированного осциллятора при, .

Построенные графики указывают основные закономерности колебаний комбинированных маятников с затуханием.

Выводы

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Колебания комбинированного осциллятора описываются теми же уравнениями, что и колебания осциллятора, находящегося под действием одной силы.

2. Частота малых колебаний комбинированного осциллятора определяется как корень из суммы квадратов частот, с которыми бы колебался маятник, если бы на него действовали бы силы различной природы в отдельности.

3. В работе был произведен численный расчет конкретного осциллятора с построением графика колебаний, фазовой траектории и спектра колебаний.

Список использованных источников

колебание комбинированный осциллятор

1. Савельев И. В. Курс общей физики т.2: учебное пособие/ И. В. Савельев. — Москва: Наука, 1988. — 496 с.

2. Сивухин Д. В. Курс общей физики т.2 Электричество: учебное пособие/ Д. В Сивухин. — Москва: Наука, 1974. — 519 с.

3. Ландау Л. Д. Механика./ Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — Москва: Наука, 1965. — 204 с.

4. Гречихин Л. И. Колебания и волны: учебное пособие/ Л. И. Гречихин, Н. И. Козарь, Н. И. Павлова. — Минск: МВИЗРУ ПВО, 1973. — 129 с.