Таблицы истинности высказываний

Такие таблицы были предложены американским логиком Ч. Пирсом. В сущности, таблицы истинности сложных высказываний представляют собой прямое развитие элементарных таблиц истинности для операций конъюнкции, дизъюнкции и импликации, которые фигурировали в параграфе 4.4. темы 4. Они строятся путем прибавления очередных столбцов справа, в которых шаг за шагом осуществляется восхождение от элементарных суждений высказывания к структуре его полной логической формулы. Это восхождение осуществляется по тем же правилам истинности конъюнкций, дизъюнкций и импликаций. Таблицы истинности начинают наращиваться с крайне левых столбцов, в которых представлены все возможные комбинации истинности и ложности исходных элементарных суждений. Число таких комбинаций равно числу 2 в степени, равной числу элементарных суждений: если элементарных суждений 2, то комбинаций 2² = 4; если элементарных суждений 3, то комбинаций 2³ = 8, и т. п.

Пример 1. [(А Л В) v (А —> В)] —? (А Л В).

Пример 2. [(А Л В Л С) v (А —> В)] V (А —> С).

Окончание таблицы

В зависимости от того, в какой пропорции комбинируются истинные и ложные значения логических формул, различают три существенно разных формы сложных высказываний, которые далее будут рассмотрены по порядку.

Контрольные вопросы и упражнения

Постройте таблицы_истинности следующих логических формул:

• 1. (А —> В) —> (А Л В).
• 2. [(А Л В) —> В] V_(A V В).
• 3. [(А Л В Л С) V (А —> С)] -> (В V С).
• 4. [(А V В) V С]_— [(А —> С) v (В —> С)].
• 5. [(А —> С) v (В —" С)] —> [(А V В) V С].

Тождественно-истинные высказывания

Логическая формула из первого примера в предыдущем параграфе при любых комбинациях истинности и ложности элементарных суждений дает истинные результаты. В форме таблицы истинности это выглядит как последний столбец, соответствующий всей логической формуле и состоящий из одних единиц. Такие логические формулы и соответствующие им сложные высказывания называются тождественно-истинными. Их также называют тавтологиями. При этом имеется в виду именно этот смысл полисемичного логического термина «тавтология». Тавтологии в смысле тождественно-истинных высказываний следует отличать от тавтологий в смысле некорректного определения понятий, когда определяемые понятия так или иначе выражаются через определяемые же понятия.

В принципе, все тавтологии являются законами логики. Они служат основой для правильных рассуждений, при которых истинность итоговых заключений нередко образуется в результате игры специфической истинности импликаций. Поэтому тавтологии отнюдь не страхуют наши формальные рассуждения от истинных выводов из ложных посылок. Последствия этого не проявляются в определенном сложном высказывании. Однако определенное высказывание в формальных рассуждениях обычно связано с предыдущими, а его результаты подхватываются и развиваются в последующих высказываниях. Но это значит, что предыдущие высказывания могут быть ошибочными, а тавтология при этом может выступить в роли транслятора ошибки к последующим высказываниям.

В качестве примера приведем такое высказывание: «Если треугольник равносторонний, то сумма его углов 180° и все углы равны, но если треугольник не равносторонний, то можно говорить лишь о том, что его углы в сумме составляют 180°». Логическая формула этого суждения [А —" (В, А С)] А (А —" В). Составив для нее таблицу истинности, читатели убедятся в том, что специфическая логика импликаций связывает элементарные суждения в тавтологию. Тем не менее такая тавтология может выступить в роли автономного звена в цепочке высказываний по поводу треугольников на сильно искривленной поверхности. При этом исходные посылки тавтологии будут ложными, ибо в криволинейных треугольниках сумма углов не равна 180°. И никакая логическая принудительность вывода тавтологии не воспрепятствует тому, что тождественно-истинное высказывание воспримет на входе ложную информацию, обработает ее и передаст дальше под видимостью информации истинной.

Наконец, тождественно-истинные формулы сложных высказываний вполне способны просто включать в себя ложные элементы и давать ложные выводы. Примером может служить такая формула:

Это — один из условно-категорических силлогизмов, о которых пойдет речь в подпараграфе 8.4.2 следующей темы. Проанализировав эту логическую формулу с помощью таблицы Пирса, получим итоговый столбец из одних единиц. Это означает, что формула является одним из законов логики, обеспечивающих наибольшую надежность умозаключения. Тем не менее, несмотря на тождественную истинность этой логической формулы, ее результативность может быть самой разной. И во всех случаях эта результативность поверяется соответствующими опытными знаниями, которые являются внешними по отношению к науке логики. Рассмотрим это по порядку.

Во-первых, эта логическая формула, конечно, из истинных посылок может давать истинный вывод. Например: «Если растение содержит хлорофилл, то оно самостоятельно синтезирует белки. Но растение является грибом и не способно самостоятельно синтезировать белки. Следовательно, оно не содержит хлорофилла». Очевидно, что деление растительного царства на зеленые растения и на грибы — это опытный факт ботаники, а не истина науки логики.

Во-вторых, эта логическая формула, в духе специфической истинности импликаций, из ложной посылки может давать истинный вывод. Например: «Если бегемоты летают, то они имеют крылья. Но бегемоты не имеют крыльев. Следовательно, они не летают». Ложность первой импликативной посылки в данном случае устанавливается опытными фактами зоологии, а не законами логики.

В-третьих, эта логическая формула из истинных посылок может давать недостоверный вывод. Например: «Если человек хорошо плавает, то он может спасти утопающего. Но человек не может спасти утопающего. Следовательно, он плохо плавает». И в данном случае на недостоверность вывода нам указывают опытные знания о жизни, а вовсе не законы логики. Именно из них нам известно, что хороший пловец может оказаться малодушным человеком. Ведь спасение утопающих — дело весьма рискованное: вместо одного утонувшего очень даже может оказаться два — утопавший и тот, кто пытался его спасти.

В-четвертых, эта логическая формула из истинных посылок может дать ложный вывод. Например: «Если самолет образцово обслуживается на земле, то вероятность авиакатастрофы по техническим причинам крайне мала. Но вероятность такой авиакатастрофы велика. Следовательно, самолет плохо обслуживается на земле». Вовсе не тождественная истинность логической формулы может уберечь нас от ложного вывода, а опыт эксплуатации самолетов. Именно он говорит о том, что среди авиакатастроф по техническим причинам были и есть непредсказуемые и потому не учитываемые правилами наземного технического обслуживания самолетов. Например, в 30-х гг. XX в. никто не мог предвидеть флаттера — внезапных и гибельных для самолета колебаний его конструкции. В наше время попадание самолета в грозовую тучу не так опасно, как полвека назад, но все равно чревато непредсказуемыми отказами его узлов, системы навигации и т. п.

В-пятых, эта логическая формула из истинных посылок может дать вывод недостоверный, но стимулирующий уточнение используемого понятия. Например: «Если плотность стали меньше плотности воды, то сталь плавает в воде. Но сталь тонет в воде. Следовательно, плотность стали больше плотности воды». Сразу же возникает «детский» вопрос: а как же плавают стальные корабли? Чтобы его снять, надо привлечь к анализу закон Архимеда, который очевидным образом является физическим законом, а не логическим. Он позволяет скорректировать логическую формулу заменой понятия «сталь» на понятие «предмет из стали». После такой замены понятия формула будет давать достоверный вывод из достоверной посылки.

В-шестых, эта логическая формула из недостоверной посылки может давать недостоверный вывод: «Если двигатель работает, то автомобиль движется. Но автомобиль стоит. Следовательно, его двигатель не работает». Не законом логики, а опытным фактом является то, что нейтральная позиция в коробке передач автомобиля позволяет двигателю и ходовой части работать независимо друг от друга. Поэтому автомобиль может стоять и при работающем двигателе. Не из логики, а из опыта мы знаем также, что автомобиль может двигаться и по другим причинам — по инерции, под гору, на буксире, на железнодорожной платформе, на палубе парома и др.

Подобные примеры можно умножать как по количеству, так и по разнообразию.

Подытоживая рассмотренное, особо подчеркнем, что даже высказывания, имеющие силу законов формальной логики, не устраняют проблемы контроля и коррекций формальных рассуждений знаниями их предмета с фактической стороны — опытными знаниями.