Методы оптимизации при планировании экстремального эксперимента

Одним из первых этапов при оптимизации технологических процессов является определение критерия оптимизации — функции отклика Y, значение которой будет положено в основу оценки процесса при его оптимизации. Задача оптимизации сводится к нахождению таких условий проведения технологического процесса, при которых критерий оптимизации достигает экстремума.

При исследовании технологических процессов электронных средств аналитическая зависимость У (Х) (где X — вектор управляемых, а следовательно, контролируемых факторовX = (Х_ЬХ₂, …, XJ) неизвестна и исследователь не может найти экстремум путем решения системы дифференциальных уравнений.

где к — число факторов.

Обычно исследователь может лишь наблюдать значения выходной величины при различных комбинациях варьируемых факторов (Х_г, Х₂, …, Х_к); в действительности же наблюдается сумма истинного значения у_ист и случайной ошибки опыта А:

Принято называть геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве (Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_к) поверхностью отклика.

При поиске экстремальной точки, в отличие от аналитического исследования, осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда опытов, специально поставленных около исходной точки. Движение к экстремуму в п-мерном пространстве независимых переменных осуществляется обычно не непрерывно, а шагами. Анализируя результаты экспериментов и сравнивая их с результатами предыдущих, исследователь принимает решение о дальнейших действиях по поиску оптимума. Экстремальное значение отклика достигается с помощью многократного последовательного изучения поверхности отклика и продвижения в факторном пространстве. Существуют несколько экспериментальных методов оптимизации, различающихся способом определения направления движения и организацией самого движения.

Метод Гаусса — Зейделя.

При оптимизации по этому методу последовательное продвижение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым фактором до достижения частного экстремума функции отклика (рис. 2.5). На рисунке изображены кривые равного выхода для одного из технологических процессов, аналогично кривым равной высоты на географических картах. Таким образом, изображающая точка перемещается попеременно вдоль каждой из координатных осейХ, (i = 1, 2, 3, …, к) факторного пространства; переход к новой (7 + 1)-й координате осуществляется при достижении частного экстремума целевой функции Y (X) по предыдущей координате, т. е. в точке X_ih, где.

Рис. 2.5. Поиск экстремума функции отклика методом Гаусса — Зейделя.

Здесь и далее ищем экстремум в виде минимума функции отклика, максимум находится аналогично, меняется только знак.

После достижения частного экстремума при изменении значений последнего фактора Х_к переходят снова к варьированию первым фактором и т, д.; в результате изображающая точка приближается к экстремуму. Направление движения вдоль (i + 1)-й координатной оси выбирается по результатам двух пробных экспериментов в окрестностях точки частного экстремума по предыдущему фактору. Поиск экстремума прекращается в точке, движение из которой в любом направлении не приводит к уменьшению значения выходного параметра (функции отклика У). Точка поверхности отклика, в которой значение функции отклика будет минимальным, и будет искомым оптимумом. Точность определения оптимальной точки зависит от шага варьирования ДХ,-, и для увеличения точности уменьшают величину шага при приближении к экстремуму.

Важным моментом при постановке эксперимента является выбор исходной точки и шага варьирования. Здесь необходимо учитывать свойства изучаемого процесса, особенности технологии и методов измерения.

Метод Гаусса — Зейделя и его разновидности очень широко распространены на практике. Обычно экспериментаторы стараются изменять факторы по очереди, варьируя одним фактором и стабилизируя в данной серии опытов другие факторы. Таким образом, удается получить зависимость исследуемого параметра только от одной независимой переменной, при этом такую зависимость легко представить графически; можно подобрать эмпирическую функцию и объяснить полученные результаты.

Основным недостатком метода являются большие временные затраты при движении к оптимуму. Особенно сильно этот недостаток проявляется при большом числе факторов, оказывающих влияние на выходной параметр процесса. При увеличении количества независимых переменных до 5—6 применять метод Гаусса — Зейделя для оптимизации процессов неэффективно.