Методология факторного эксперимента

В параграфе 2.1 были приведены основные понятия и определения теории планирования эксперимента. Напомним, что целью планирования является разработка оптимальной стратегии исследования, заключающейся в рациональном выборе числа экспериментальных точек и порядка их задания. Сказанное относится к случаю активного эксперимента, когда в ходе опыта можно задавать требуемые уровни факторов.

Как уже отмечалось выше, обычно одной из задач экспериментального исследования является построение математической модели объекта. Чаще всего она ищется в виде полинома некоторой степени. Математическая модель должна достаточно точно аппроксимировать функцию (поверхность) отклика в интересующей экспериментатора области изменения факторов (или, другими словами, области факторного пространства). Чем выше степень полинома, тем точнее может быть осуществлена аппроксимация. Однако использование полиномов высоких степеней усложняет модель, приводит к вычислительным и другим трудностям. Поэтому стараются ограничиваться полиномами по возможности низких степеней, например полиномом первой степени.

или неполным полиномом второй степени.

Они могут удовлетворительно аппроксимировать поверхность отклика на небольшом участке, особенно вдали от оптимума. Этого оказывается достаточно для определения направления движения к оптимуму. Однако в области оптимума обычно приходится прибегать к полиномам более высоких степеней. Оценка коэффициентов полинома может производиться с помощью регрессионного анализа, изложенного в предыдущей главе. Имеется, однако, процедура нахождения коэффициентов полинома, которая хотя и является по существу частным случаем регрессионного анализа, но выполняется по специальному плану, позволяющему ограничиться минимальным числом опытов и резко упрощающему вычисление коэффициентов полинома. Указанная процедура называется факторным планированием. Она эффективно использует идею многофакторного эксперимента. Наиболее просто факторное планирование реализуется в полном факторном эксперименте (ПФЭ).

Основной целью проведения современного эксперимента является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс.

С помощью такой модели можно эффективно управлять производством и, оперативно изменяя его параметры в соответствии с запросами потребителя, обеспечивать выпуск высококачественной продукции. При планировании эксперимента исследователь должен:

• — представить экспериментальные результаты, отвечающие требованиям высокой надежности и однозначной трактовки;
• — разработать конкретную схему и представить четкую последовательность операций при проведении исследования;
• — разработать подробный алгоритм разработки модели, обеспечивающий возможность максимальной его формализации при широчайшем применении компьютерных средств обработки экспериментальных данных.

Достижению указанных целей в полной мере отвечают статистические методы планирования эксперимента, являющиеся одним из эмпирических способов получения математического описания сложных процессов. При применении статистических методов планирования эксперимента математическое описание процесса обычно представляется в виде полинома (2.1): У = f (X_b …, Х_к), где Y — функция отклика, aX_l5 Х₂, Х₃, …, Х_к — факторы исследуемого процесса.

План эксперимента в этом случае определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве или условия для всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец — значения контролируемых и управляемых параметров в исследуемом процессе, т. е. значения факторов, соответствующих условию опыта.

В последний столбец матрицы заносят значения функции отклика у^, полученные экспериментальным путем в каждом ?-м опыте, проведенным в соответствии с условиями, указанными в строках матрицы планирования эксперимента.

Планирование эксперимента начинают с выбора центра плана, т. е. точки, соответствующей начальному значению всех используемых в эксперименте факторов (Х₁₀, Х₂₀, …, Х_к0), в окрестностях которой ставится серия планируемых опытов. Начальным значениям факторов будет также соответствовать начальное значение функции отклика УдЦентр плана выбирается на основе априорных сведений о процессе. Если их нет, то в качестве центра плана принимается центр исследуемой области.

Значение факторов в каждом опыте в случае применения матрицы планирования эксперимента отличается от начального их значения Х_ю на величину интервала АХ. Одним из важнейших предварительных условий успешного проведения эксперимента с целью разработки математической модели, адекватной исследуемому процессу, является выбор оптимальной величины АХ.

Предположим, что исследуемая функция у = /(лу) имеет вид, приведенный на рис. 2.1 (кривая 1). Если выбрать ЛХ{ небольшим, то при анализе результатов эксперимента можно прийти к ошибочному выводу о том, что его влиянием на функцию отклика можно пренебречь и при дальнейшем проведении эксперимента — исключить. При увеличении АХ опасность такого ошибочного вывода уменьшается, но увеличивается опасность получения неадекватной модели. Это наглядно представлено на рис. 2.1, где выбор величины интервала, равной АХ" приводит к необходимости замены линейной модели нелинейной.

Рис. 2.1. Вид исследуемой функции (кривая 7) и два выбора шага.

эксперимента:

ДХ{ — заниженная величина; АХ" - завышенная величина Заранее предугадать оптимальную величину интервала варьирования довольно трудно. Это зависит от уровня знаний экспериментатором исследуемого процесса. Однако интервалы варьирования по каждому фактору (управляемой переменной X,) должны выбираться такими, чтобы приращение величины выходного параметра (функции отклика) Y к базовому значению у₀ можно было бы надежно выделить на фоне «шума», создаваемого исследуемым процессом, при небольшом числе параллельных опытов.

Обычно интервал варьирования выбирают в пределах 0,05—0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора АХ,.

Варьирование значений фактора относительно его базового (начального) значения в случае линейной модели достаточно проводить только на двух уровнях. Все возможные комбинации для двух факторов (к = 2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если поставить четыре опыта. Опытные точки расположатся в вершинах квадрата, центр которого совпадает с центром плана (рис. 2.2).

При статистическом методе планирования эксперимента существует правило — число уровней варьирования учитываемых в эксперименте факторов должно быть на единицу больше порядка полинома, для построения которого планируется эксперимент. Планирование эксперимента рассматривается исходя из предположения, что математическая модель исследуемого процесса соответствует полиному.

1-го порядка (линейна). Поэтому достаточно проводить варьирование каждого из к факторов только на двух уровнях, а необходимое число проводимых опытов можно определить с помощью выражения

Рис. 2.2. Расположение экспериментальных точек для двух независимых факторов, варьируемых на двух уровнях.

Если анализ результатов эксперимента показывает, что линейная модель, соответствующая полиному первого порядка (2.2), не адекватна исследуемому процессу, то переходят к проведению следующего опыта, исходя из предположения, что математическая модель соответствует полиному более высокого порядка, и т. д. При планировании эксперимента, основанного на математической модели, например, соответствующей полиному 2-го порядка.

необходимо обеспечить варьирование по каждому из к факторов на трех уровнях. Тогда необходимое число опытов, которое нужно провести в эксперименте, должно быть не меньше N — З^к. Для полинома третьего порядка N = 4^к и т. д.

Рассмотрим положительные особенности многофакторного планирования ПФЭ.

1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, т. е. математическое описание исследуемого процесса оказывается более точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных другим образом.

Если мы проводим эксперимент с небольшим интервалом (AXf) варьирования (рис. 2.3), то из-за неизбежного наличия ошибки эксперимента положение искомой зависимости Y — /(ХД будет определено с разбросом (I) значительно большим, чем при увеличенном (AXf') интервале варьирования (II).

Рис. 2.3. Влияние размера интервала варьирования на точность определения зависимости у = f (X).

В многофакторном эксперименте (ПФЭ) расстояние между экспериментальными точками без увеличения интервала варьирования по каждой переменной увеличивается в у[к раз (где К — число факторов) по сравнению с однофакторным экспериментом. Так, для двухфакторного эксперимента (см. рис. 2.2) расстояние между экспериментальными точками — диагональ квадрата V2, для трехфакторного эксперимента — диагональ куба (л/з) и т. д.

• 2. Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто, что объясняет его широкое применение на практике.
• 3. Все факторы и коэффициенты полинома оцениваются независимо друг от друга, что обеспечивается независимостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.

Последняя положительная особенность ПФЭ справедлива только для процесса, описываемого полиномом 1-го порядка. При значительном влиянии на выходной параметр квадратичных членов полинома оценить раздельно коэффициенты b₀, Ь_и, Ь₂₂ и т. д. с помощью ПФЭ не удается, так как соответствующие столбцы матрицы планирования будут идентичны между собой и матрица становится с зависимыми столбцами, а значит, неортогональной.

При исследовании какого-либо процесса функция отклика в каждом проводимом опыте носит случайный характер из-за наличия неконтролируемых параметров. Именно поэтому при проведении эксперимента необходимо обеспечить сведение к минимуму влияние случайных факторов.

С целью уменьшения их влияния на конечный результат эксперимента необходимо придерживаться следующих требований:

• — необходимо предусмотреть проведение нескольких параллельных опытов при одних и тех же условиях, предусмотренных соответствующей строкой матрицы планирования (номером опыта);
• — необходимо рандомизировать неконтролируемые параметры процесса, т. е. обеспечить их взаимную компенсацию.

Для выполнения первого требования должно быть предусмотрено проведение не менее двух параллельных опытов (п = 2), а для более высокой достоверности результатов их число увеличивают еще более. В этом случае результаты п параллельных опытов усредняются и при анализе результатов эксперимента используют усредненное значение функции отклика, подсчитываемое по формуле.

где ?, = 1, …, N — номер опыта по порядку, установленному первым столбцом матрицы, a i — номер параллельного опыта в ее строке;

— значение функции отклика, соответствующее ?-му параллельному опыту в ?,-м номере опыта; п — число параллельных опытов.

Для выполнения второго требования порядок реализации условий опыта должен быть рандомизирован. Для этого перед непосредственной реализацией плана эксперимента для каждой из п серий опытов обычно с помощью таблицы случайных чисел определяется последовательность опытов на исследуемом объекте.