Введение Феномен математики

Математика — царица всех наук.

Карл Гаусс

Наука математика зародилась в древнегреческих школах Фалеса и Пифагора (VI—V века до н. э.). В качестве пранауки, набора алгоритмических правил, предназначенных для практических вычислений и измерений, математика существовала за тысячелетия до этого в Китае, Вавилоне, Египте. Но 2500 лет тому назад в первых научно-философских школах начал вызревать дедуктивный метод, направленный на логическое обоснование применяемых эмпирических правил и предполагающий более четкое осмысление исходных математических предпонятий числа и геометрической фигуры. Дедукция (выведение), то есть строгие логические рассуждения и доказательства, стала отправным пунктом развития математической науки. Знаменитые «Начала» Евклида явились важнейшим запечатленным свидетельством возникновения математики и образцом научности. Как отдельная наука логика оформилась в трудах Аристотеля (IV век до н. э.), предложившего в своем «Органоне» первую формальную систему дедукции — теорию силлогизмов.

Почти одновременно со становлением математики в Древней Греции появляется философия (западная философия). Философия (по-гречески «любомудрие»), существующая с самого начала как единое учение о бытии, постепенно подразделяется на натурфилософию (первое учение о природе, основанное на наблюдении и эмпирии) и метафизику (умозрительное учение о первоначалах мироздания). В пифагорейской школе философия и математика теснейшим образом переплетались. Математика также имела натурфилософскую и метафизическую составляющие. У Евклида геометрия — это метафизика реального пространства.

Пифагореизм включал в себя математику и в своих представлениях существенно опирался на нее. Пифагор и его ученики считали математику уделом и привилегией избранных, дававших обет молчания о результатах своих размышлений. Открытие несоизмеримых отрезков (диагонали и стороны квадрата), приписываемое Гиппасу (по другим легендам, открытие сделал сам Пифагор или его ученик Теэтет), привело к расколу в рядах последователей Пифагора. Суперрациональная и гармоничная философия Пифагора дала трещину. Изгнанный верными приверженцами пифагореизма Гиппас основал собственную школу, провозгласившую открытость математических знаний. И вслед за его сторонниками математика стала трактоваться (в переводе с греческого) как «учение», «наука», «учусь через размышление».

Платон называл математику «серединной наукой», связывающей преходящий и несовершенный Мир Вещей (Теней) с вечным и божественным Миром Идей (Форм). Математика выступает в роли посредника, универсального средства связи между двумя мирами — материальным и идеальным. Мир вещей дает толчок к пробуждению разума и познанию Идей. Процесс познания есть сократовский диалог (майевтика) разбуженного разума с разумом (возможно, с самим собой), вызывающий «припоминание идей» по Платону.

В Древнем Риме термином «humanitas», означающим по-латыни природу человека, обозначался курс обучения, включающий семь так называемых свободных искусств: арифметику, геометрию, астрономию, музыку, грамматику, логику и риторику. Последние три дисциплины составляли диалектику, то есть то, что делает возможным обучение. Эти предметы вошли в состав гуманитарных наук в эпоху Возрождения. До середины XIX века все образование было гуманитарным, с математикой в качестве центральной дисциплины. Только во второй половине XIX века гуманитарными были названы дисциплины, не относящиеся к естественным наукам. Произошел «трагический раскол культуры», как писал в своей книге «Две культуры» [503] Чарльз Сноу.

Никакая научная картина мира невозможна без математики. В своей наивной натурфилософии древние греки впервые в истории осознали могущество человеческого разума, признали необходимость и возможность исследования природы. Закон и порядок существуют в природе, и математика есть ключ к их пониманию. Математика способна открывать истины о природе [258, 259].

Механистическая картина мира, основоположником которой был Рене Декарт, целиком базировалась на математических законах. В «Принципах философии» он писал, что «одной лишь математики вполне достаточно для изучения физического мира, математика — сущность всех наук». Предвестниками философии картезианства были естествоиспытатели Николай Коперник, Тихо Браге и Иоганн Кеплер, открывшие математические законы гелиоцентрической системы мира. Галилео Галилей и Фрэнсис Бэкон обогатили научный метод Декарта, дополнив его экспериментальным способом познания. Ведущий гносеологический принцип — принцип математизации знания — Галилей выразил так: «Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым то, что таковым пока еще не является». Методология Галилея подготовила почву для научных изысканий Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница.

Вслед за Галилеем Ньютон придерживался методологического принципа — для всякого явления природы искать его математическое описание, а не физическое объяснение. Данное положение совершенно созвучно следующему высказыванию знаменитого физика XX века Поля Дирака: «Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой… Следует не доверять всем физическим концепциям». Это высказывание можно дополнить словами другого выдающегося физика Ричарда Фейнмана: «Каждый новый закон физики — это чисто математическое утверждение». В своем главном сочинении «Математические начала натуральной философии» Ньютон ставит математику на первое место в естествознании; для него математика не только инструмент физического познания, но и источник новых фундаментальных понятий. Ньютон и Лейбниц создали дифференциальное и интегральное исчисление — мощный аппарат научного изучения природы. В XVII—XVIII вв.еках математика находилась в самом центре научного видения мира — сциентизма.

В механистической философии ведущим общим методом исследования выступает редукционизм, сводящий познание целого к его частям, которые в свою очередь разлагаются на определенные первичные элементы. Последующая дифференциация знания, вычленение и становление отдельных наук также базировались на принципе редукционизма. С философской точки зрения современная научная картина мира, признавая роль анализа, тяготеет к междисциплинарному синтезу наук, проповедует системный подход, холизм. Холистический принцип познания утверждает, что целое имеет новое, более высокое качество по сравнению с составляющими его частями, что выражается метафорой «целое больше суммы своих частей».

На протяжении XIX столетия математика постепенно вставала на современные рельсы. Многие интуитивно понимаемые математические абстракции, доказательства и построения обрели строгую логическую форму, сама логика математизировалась, появились неевклидовы геометрии, возникла канторовская теория множеств — основа обновленной классической математики. Принципиально изменились воззрения на математику, ее методология. Если раньше математика была мощным орудием научного познания действительности, то к началу XX века она становится универсальным средством описания возможных миров. Зародились главные направления в основаниях математики — логицизм, интуиционизм и формализм.

Аксиоматика Пеано натурального ряда чисел и аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства явились первыми ласточками всеобщей аксиоматизации математики в XX веке. Аксиоматическое изложение теоретико-множественной математики в своих многотомных «Элементах математики» осуществила группа французских ученых, работавших под псевдонимом Никола Бурбаки. С середины XX столетия математики начали использовать достаточно удобный теоретико-категорный язык, по своей выразительной силе эквивалентный теоретико-множественному языку. Успешное развитие математической логики и теории алгоритмов способствовало появлению первых ЭВМ. Созданная Норбертом Винером кибернетика (наука об управлении сложными процессами) и программирование вошли теперь в информатику. Бурный процесс компьютеризации подстегнул опережающее развитие дискретной математики и сделал возможным широчайшее применение метода математического моделирования. Возникшая 35 лет назад синергетика («совместное действие»), опирающаяся на современную теорию динамических систем, становится мощным инструментом исследования всевозможных нелинейных явлений, процессов неустойчивости, хаоса.

Философия науки на Западе в XX веке носила явный отпечаток релятивизма, натурализма и эмпиризма; рационализм был не в моде [506]. Подобный эмпиризм привязывает научную методологию к экспериментальным методам и теоретическим приемам рассуждений, принятым в отдельных естественных науках; объективная истина становится принципиально зависимой от способов ее добывания (такой подход в теории познания называется операционализмом). Синергетика естественнонаучную теорию нелинейных динамик, названную И. Р. Пригожиным неравновесной термодинамикой, экстраполирует на всю науку и культуру. В строго научном плане подобные «поползновения» вряд ли правомерны. Истории человечества известны такие попытки — это и различные богословские учения, и, скажем, атомизм, механицизм или дарвинизм. С другой стороны, постмодернизм и социокультурная философия стремятся перенести гуманитарные закономерности на сферу естествознания, на точные науки. Только математика как универсальная и беспристрастная наука способна служить общей, адекватной и точной научной основой описания Мира.

В отличие от других областей знания математика сохраняет свои устои и принципы, идущие еще от Пифагора, Евклида и Архимеда. Математика изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством «внешних» категорий формы и количества, проникая через них к содержанию и сущности вещей. В этом заключается природа математики. Математика широко применима к окружающей действительности через математические структуры и математические модели, создаваемые математиками как по внутреннему побуждению и логике науки, так и благодаря запросам практики. Универсальность математики и эффективность ее приложений обусловлены природой математики и коренятся в единстве Мира, гармонии материального и идеального. Анри Пуанкаре постулировал, что «единственная настоящая реальность есть внутренняя гармония мира»; всякая другая реальность случайна и эфемерна. Наряду с принципом математизации знания научная картина мира должна включать принцип гармонии, красоты, целесообразности. Категории гармонии, красоты и целесообразности предполагают и предопределяют друг друга. В человеческом познании принцип гармонии выступает в качестве эстетического отбора подлинного, реализуется через эволюцию знания. Никчемные понятия и теории отмирают, целесообразные же идеи выживают и совершенствуются, фундаментальные истины непреходящи. Поступательный процесс эстетического отбора, отсеивая ложное или несущественное знание, высвечивает и выверяет истину.

Математика в научном познании Мироздания является точным и лаконичным общенаучным языком, универсальным аппаратом, мощным инструментом исследования, критерием истины, объективной методологией науки. Одна и та же математическая формула или модель может быть приложима к целому спектру явлений. Роль математики в науке аналогична роли логики в математике, а также подобна значению науки в жизни или научного познания в человеческом познании вообще. Феномен математики состоит в том, что она сама по себе образует автономную специфическую форму познания, включающую структурный анализ бытия, его формальное воспроизведение, дедуктивно-модельный способ обретения точного знания. Конечно, наряду с научной, в том числе математической, формой познания существуют и такие формы познания, как философская, художественная, религиозная, мистическая, обыденная. Математику можно считать также феноменологией — конкретно-всеобщей наукой о явлениях с точки зрения их структурной определенности и классификации.

В последние десятилетия в сфере культуры и философии, в частности философии науки, идет острая борьба между фундаменталистами и нефундаменталистами. Фундаментализм опирается на разум, здравый смысл, реальность, логику и науку, провозглашает рациональные ценности и необходимость научного образования. Это направление стремится обосновывать существование фундаментальных основ бытия и мышления, вырабатывает общую картину мира. Фундаментализм воспитывает в человеке — такое естественное для людей — оптимистическое мироощущение. Нефундаменталистское течение проявляется в социокультурном подходе и постмодернизме. Социокультурный подход делает акцент на исторические, общественные и культурные аспекты и особенности развития научного знания, возвышает субъективизм и релятивизм в познании и в жизни. А постмодернизм превозносит иррационализм и нигилизм, негативен и деструктивен, порождает индивидуализм и ощущение бессмысленности жизни. Он отрицает науку, а также метафизику, допускающую возможность целостного рационального понимания мира и построяемость единой научной картины мира.

Выскажем наш взгляд на соотношение понятий философии, метафизики и методологии. Сначала приведем авторитетные мнения Бертрана Рассела и Т. И. Ойзермана о философии. Рассел во введении к своей книге «История западной философии» [448] назвал философию «Ничьей Землей», лежащей между точным знанием и догмами, то есть между наукой и богословием. Исходным же тезисом монографии Ойзермана «Философия как история философии» [394] является такое понимание: «Философия существует только как философии, то есть как неопределенное множество различных, противостоящих друг другу философских систем». По его мнению, философия не существует без своей генетической предпосылки — истории философии, допускающей «плюрализм философских учений».

Разделяя эти взгляды, мы формулируем следующее понимание философии.

Во-первых, философия есть анализ генезиса и истории интеллектуальных учений.

Во-вторых, задачей философов является создание и разработка собственных рациональных или трансцендентных мировоззренческих систем, дающих ту или иную общую картину мира. Данные направления можно отнести к истории философии.

Научным же аспектом философии служит построение общей методологии, базирующейся на стройной системе философских и общенаучных категорий и законах диалектики. Именно эту составляющую философии можно назвать метафизикой науки. Заметим, что в классической традиции метафизика часто отождествляется с онтологией — учением о бытии как таковом.

Метафизика, или онтология, математики — важнейшая отрасль философии науки и теории познания, в которой исследуются, так или иначе, решаются вопросы о природе и статусе математики, о ее гносеологических истоках и основах, вопросы оснований и методологии математики. Научно-философское обсуждение совокупности данных проблем суть попытки ответа на первичный вопрос — что такое математика?

Классическая философская традиция отождествляет также метафизику со всей философией. Мы считаем метафизику собственной частью философии, а методологию — частью метафизики. Если философия означает мировоззрение, метафизика — умозрение, то методология есть научное воззрение. Методология математики — это учение о структуре и архитектуре математики, способах получения, построения и изложения математического знания, общих и специальных методах математического познания, организации математической деятельности человека.

В цепочках философия —> метафизика —> методология и знание —> —" наука —" математика точность, простота и обосновательная сила утверждений и выводов нарастают. Наука занимается точным знанием, к которому, конечно, не сводится все знание. Но и не всякое точное знание может быть строго обосновано. К такому знанию можно отнести некоторые очевидности как априорного, так и эмпирического происхождения.

Математика сродни философии. Обе занимаются глобальными вопросами миропонимания, исследуют фундаментальные понятия и категории Мироздания. Только философия и метафизика пытаются уловить «сущность», а математика успешно справляется с «явлением».

Завершим предисловие словами создателя нестандартного анализа Абрахама Робинсона: «Математика будущего, как и математика прошлого, будет включать исследования, относящиеся к философии математики».

Литература: [95, 113, 114, 175, 182, 207, 258, 259, 333, 379, 394, 443, 448, 503, 519, 558, 574, 610].