Метод Бубнова-Галеркина. 
Метод Бубнова-Галеркина

Метод, который называют методом Галеркина или методом Бубнова-Галеркина, известен как математикам, так и инженерам. Предлагаемая работа рассматривает историю появления этого метода, его применение в решении проблемы флаттера и роль в научном творчестве М. В. Келдыша. В исследовании истории метода Галеркина нельзя не упомянуть следующих известных ученых.

• * Лорд Релей (1842−1919);
• * Вальтер Ритц (1878−1909);
• * С. П. Тимошенко (1878−1972);
• * Б. Г. Галеркин (1871−1945);
• * И. Г. Бубнов (1872−1919);
• * М. В. Келдыш (1911;1978);
• * С. Г. Михлин (1908;1990).

Следует начать с того, что метод решения дифференциальных уравнений путем введения аппроксимирующих функций впервые дал лорд Релей. Задача сводилась к минимизации функционала, связывающего кинетическую и потенциальную энергии системы. Эта идея получила обширное развитие в его монографии «Теория звука» (1877−1878), в которой Релей рассматривал колебания струн, пластин, оболочек, используя для описания системы форму колебаний простейшего осциллятора.

В 1908 году физик из Геттингена Вальтер Ритц (Ritz Walter) выпустил работу «Об одном новом методе решения некоторых вариационных задач математической физики» о приеме приближенного решения задачи минимизации функционала. Он решал задачи теории упругости, в частности, задачу о прогибе пластины. Ритц излагает метод следующим образом. В классе допустимых функций ставится задача минимизации интеграла:

для этого берется последовательность функций:

таких, чтобы при любых функция:

1) была допустимой,.

2) для любой допустимой функции w найдутся п и числа такие, чтобы функция достаточно мало отличалась от w.

Заметим, что требование 2), обычно называемое условием полноты, нуждается в более точной формулировке. В интеграл (1) подставляем вместо w, тогда J (w) становится функцией Эти числа выбираются так, чтобы приобрел наименьшее значение. Для этого необходимо решить уравнения:

Затем, после подстановки полученных значений в (2), получим функцию, которую Ритц рассматривает как приближенное решение вариационной задачи.

В 1911 лорд Релей в статье написал, что «удивительно, как он (В. Ритц) мог рассматривать метод как новый», что в «одной из ранних работ… этот метод дан в форме, почти в точности, совпадающей с той, в какой он предложен Ритцем». Вероятно, что Ритц развил свой метод независимо. В любом случае заслугой Ритца является то, что он дал первое строгое обоснование метода, исследовав его сходимость для трех задач:

изгиб жестко закрепленной по краям упругой пластины;

задача Дирихле для уравнения Лапласа;

краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка.

Отметим, что в современных курсах вычислительной математики изучают именно метод Ритца. С. Г. Михлин указал, что «в применении к задачам теории колебаний метод Ритца является далеко идущим обобщением, так называемого метода Релея».

Приведем краткие биографические сведения о Вальтере Ритце. Вальтер Ритц — швейцарский физик-теоретик и математик. Окончил Цюрихский университет (1900). Работал в Геттингене, Бонне, Париже, Цюрихе, Тюбингене. Однокурсник Альберта Эйнштейна. Метод Ритца дал представителям прикладных наук удобное орудие для решения задач, до того совершенно недоступных. Появилось много работ, в которых с помощью метода Ритца строились приближенные решения тех или иных задач математической физики.

В тех случаях, когда представлялась возможность сравнить такое приближенное решение с точным или с результатами эксперимента, совпадение обычно оказывалось удовлетворительным. Особенно хорошие результаты получались тогда, когда решалась краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Вот что написал С. П. Тимошенко: «…приложения приближенного метода к задачам, для которых уже имеется точное решение, показывает, что метод дает очень хорошие результаты и практически не приходится искать более двух приближений».

Степан Прокофьевич Тимошенко — крупнейший ученый XX-го века в области механики деформированных твердых тел, который оставил огромный след в теории стержней, пластин и оболочек. Основным недостатком метода Ритца является то обстоятельство, что он применим только для уравнений с самосопряженными и положительно определенными операторами. В 1915 году вышла работа Бориса Григорьевича Галеркина «Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия» (Вестник инженеров, № 19, стр. 897−908), в которой он предложил метод интегрирования дифференциальных уравнений. Приведем начало этой статьи.

Рис. 1. Первая страница статьи Б. Г. Галеркина в издании

В дальнейшем этот метод получил большое распространение под именем «метод Галеркина». Напомним его. Требуется найти функцию u (P), удовлетворяющую в области линейному уравнению:

и, может быть, некоторым однородным краевым условиям. Пусть функции последовательности:

достаточное число раз непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют краевым условиям. Приближенное решение ищем в виде:

Где — неизвестные постоянные. По методу Галеркина коэффициенты определяются из требования, чтобы левая часть уравнения (3) стала, после подстановки в нее вместо u (P), ортогональной к функциям. Тем самым получаем систему линейных алгебраических уравнений:

для определения коэффициентов.

Важно отметить, что если оператор в (3) является самосопряженным и положительно определенным, то при сведении решения уравнения к минимизации соответствующего функционала метод Ритца и метод Галеркина приведут к одной и той же системе линейных уравнений.

Кратко расскажем о Борисе Григорьевиче Галеркине, выдающемся инженере, одном из основоположников русской школы строительной механики. Б. Г. Галеркин родился в ремесленной семье в городе Полоцке. Уже с 15 лет подрабатывал перепиской бумаг в сиротском приюте. Курс Реального училища сдал экстерном в Минске в 1893 году. В том же году поступил в Петербургский технологический институт. Во время учебы в Петербургском технологическом институте подрабатывал сначала частными уроками, а потом технической работой в качестве конструктора. Как и многие другие студенты, он оказался вовлеченным в политическую жизнь, вошел в социал-демократический кружок. В год окончания института (1899) стал членом РСДРП. Борис Григорьевич Галеркин в 1899 году начал работать на Харьковском заводе Русского паровозостроительного и механического общества. В 1903 году он — инженер на строящейся линии Восточно-китайской железной дороги, через полгода — заведующий техотделом Северного механического и котельного завода в Санкт-Петербурге. В 1906 году Б. Г. Галеркин становится членом Петербургского Комитета РСДРП. В 1906 году был арестован и за участие в революционном движении осужден на 1,5 года заключения. В заключении написал свою первую научную работу «Теория продольного изгиба и применение ее к расчету конструкций» (опубликована в 1909 году). В 1909;1915 гг. Б. Г. Галеркин усиленно работает в области теории упругости и публикует ряд важных работ.

С 1909 года преподает в Петербургском технологическом институте. В 1920 году он избирается заведующим кафедрой строительной механики на механическом факультете. С 1923 по 1929 год Борис Григорьевич занимал должность декана инженерно-строительного факультета Ленинградского политехнического института. В 1924;1929 годах Б. Г. Галеркин преподавал также в Ленинградском университете, Ленинградском институте инженеров путей сообщения. В 1928 году Б. Г. Галеркин был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1935 году — действительным членом АН СССР.

Консультировал проектирование и строительство крупных гидроэлектростанций (Волховская ГЭС, Днепрогэс и других) и теплоэлектростанций в СССР. По завершении строительства Днепрогэс (1932) Б. Г. Галеркин назначается членом Правительственной комиссии по ее приемке. В 1936 году он был назначен председателем экспертной комиссии по проектированию конструкции Дворца Советов в Москве. Б. Г. Галеркин является одним из создателей и первым директором Института механики АН СССР (1939), а также первым главным редактором журнала «Прикладная математика и механика». В 1939 году Борис Григорьевич возглавил кафедру строительной механики Военного инженерно-технического университета в Ленинграде. Получил звание инженер-генерал-лейтенанта. Б. Г. Галеркин участвовал в обороне Ленинграда. Летом 1941 года, с началом Великой Отечественной войны, была создана Комиссия по руководству строительством оборонительных сооружений Ленинграда. В ее составе оказалось несколько академиков и крупных ученых, но непосредственное отношение к строительству имел только один Б. Г. Галеркин, по существу ставший руководителем комиссии.

Труды Б. Г. Галеркина, относящиеся к строительной механике и теории упругости, способствовали внедрению современных методов математического анализа в исследование работы сооружений, конструкций и машин. Он разработал эффективные методы точного и приближенного интегрирования уравнений теории упругости. Он является одним из создателей теории изгиба пластинок. Исследовал влияние формы пластинки на распределение в ней усилий, эффект распределения местного давления, влияние упругости опорного контура. Предложенная Б. Г. Галеркиным в 1930 году форма решения уравнений упругого равновесия, содержащая три бигармонические функции, позволила эффективно решить многие важные пространственные задачи теории упругости.

В работах по теории оболочек он отказался от общепринятых гипотез относительно характера изменения смещений по толщине и ввел другие допущения, обеспечивающие большую точность и возможность распространить теорию на оболочки средней толщины. В 1942 году за работы по теории оболочек Б. Г. Галеркин был удостоен Сталинской премии первой степени. За заслуги перед государством он был награжден двумя орденами Ленина. В библиотеке кабинета-музея академика М. В. Келдыша хранится первый том собрания сочинений Б. Г. Галеркина, изданный в 1952 году, с дарственной надписью. Этот дар, сделанный уже после смерти Б. Г. Галеркина, косвенно свидетельствует о том, что Б. Г. Галеркин и М. В. Келдыш были знакомы.

дифференциальный уравнение кинетический энергия.