О необходимости вводных курсов

Начинать основные курсы математики (алгебру, геометрию, математический анализ) в педвузе полезно с вводных, переходных курсов. Аргументами в пользу пропедевтического курса алгебры служат недостаточная математическая подготовка первокурсников; существенный отрыв высшей алгебры от школьной алгебры; абстрактность понятий высшей алгебры; целесообразность предварительного знакомства со всем курсом алгебры, включая теорию чисел и числовые системы. Цель вводного курса — связать школьную математику с вузовским материалом: кратко повторить и систематизировать арифметику и элементарную алгебру; рассмотреть первый концентр высшей алгебры; дать мотивировки и перспективу дальнейшего изучения алгебры и теории чисел.

В школьных арифметике и алгебре присутствуют три основные линии изложения: развитие понятия числа, решение уравнений (в том числе алгебраических), тождественные преобразования числовых и буквенных выражений. Они продолжаются и во вводном курсе алгебры, состоящем из двух частей: «Основные системы чисел» и «Алгебраические уравнения». Первая часть содержит следующие темы: системы натуральных, целых, рациональных и действительных чисел; числовые группы, кольца и поля; арифметика целых чисел; комплексные числа. Во вторую часть входят темы: многочлены от одного неизвестного с числовыми коэффициентами; уравнения второй и третьей степени; системы линейных уравнений с двумя и с тремя неизвестными, метод Гаусса.

Формирование понятия изоморфизма

Понятие изоморфизма в математике трудно переоценить. Весьма плодотворна и идея изоморфизма (см. § 15). Кажущаяся простота и прозрачность понятия изоморфизма обманчива. Поэтому важна задача его правильного и последовательного формирования.

Сначала отметим следующие методологические аспекты.

В философском плане понятие изоморфизма означает равенство или тождество по некоторому параметру, одинаковость, подобие.

Термин «изоморфизм» употребляется двояко: как биекция между двумя однотипными математическими объектами, сохраняющая их структуру (в обе стороны), и как изоморфность — отношение эквивалентности.

Исторически строго математическое понятие изоморфизма появилось в алгебре, что ознаменовало рождение абстрактной алгебры.

В соответствии с тремя фундаментальными типами математических структур получаются понятия алгебраического изоморфизма, порядкового изоморфизма и гомеоморфизма.

Конкретные объекты могут быть изоморфны в одном смысле, но не изоморфны в другом, более сильном смысле. Например, линейный гомеоморфизм евклидовых пространств не обязан быть изометрией.

Понятие изоморфизма естественным образом приводит к понятию морфизма: гомоморфизма, изотонного и непрерывного отображений. Подчеркнем, что биективные алгебраические гомоморфизмы являются изоморфизмами, что, вообще говоря, неверно для порядковых и топологических морфизмов. Однако любая изотонная биекция конечного упорядоченного множества на себя является порядковым изоморфизмом, а непрерывные биекции компактного топологического пространства на хаусдорфово пространство суть гомеоморфизмы.

• 1. Может быть принята следующая методическая схема изучения понятия изоморфизма в алгебре, единая для векторных пространств, групп, колец и решеток.
• 2. Определение. Методологический и исторический экскурсы.
• 3. Примеры и контрпримеры. Так, для натуральных чисел т Ф п кольца mZ и nZ не изоморфны, хотя они аддитивно изоморфны и могут быть мультипликативно изоморфны (если тип имеют одинаковый мультипликативный тип).

• 4. Внешние, связанные с композицией свойства изоморфизмов.
• 5. Сохранение при изоморфизме всех абстрактных свойств и несохранение «природного своеобразия». Например, изоморфный группе группоид сам является группой.
• 6. Описания с точностью до изоморфизма, теоремы о строении (для конечномерных векторных пространств, циклических групп, простых полей, числовых систем).
• 7. Теорема о гомоморфизмах. Теоремы об изоморфизмах.
• 8. Применения. Новые примеры. Итоги.