Берлинский период. 
Лагранж Жозеф Луи

Берлинский период (1766 — 1787) был самым плодотворным в жизни Жозефа Луи. Врожденная неприязнь Лагранжа к дискуссиям сослужила емухорошую службу в Берлине. Этим он выгодно отличался от Эйлepa, который бросался от одного религиозного или философского спора к другому. Лагранж, зажатый в угол доводами и побуждаемый к ответу, всегда искренне предварял свое мнение высказыванием: «Не знаю». Но, когда затрагивались его убеждения, он умел постоять за них, o6peтая и воодушевление и логику. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, в том числе строго доказал несколько утверждений Ферма и теорему Вильсона.

Вскоре после устройства в Берлине Лагранж вызвал из Турина одну из своих молодых родственниц, кузину по матери Виктории Конти, и в 1767 году женился на ней. Женитьба оказалась счастливой. Но вскоре жена надолго заболела. Лагранж, забывая о сне, ухаживал за ней. В 1783 году, когда она умерла, его сердце было разбито. Утешение он нашел в работе: «Мои занятия свелись к тому, что я спокойно и тихо разрабатываю математику» .

В 1767 году Лагранж публикует мемуар «О решении числовых уравнений» и затем ряд дополнений к нему. Оно касалось общих вопросов разрешимости алгебраических уравнений. В то время впервые в математике появляется конечная группа подстановок. Лагранж высказал предположение, что не все уравнения выше 4-й степени разрешимы в радикалах. Строгое доказательство этого факта и конкретные примеры таких уравнений дал Абель в 1824 1826 годах, а общие условия разрешимости нашёл Галуа в 1830—1832 годах.

В 1772 году Лагранж избран иностранным членом Парижской Академии Наук.

После смерти Фридриха Великого (17 августа 1786 года) возмущение против непруссаков и наступившее безразличие к науке сделали Берлин неподходящим местом жительства для Лагранжа и его коллег-иностранцев, связанных с академией, он стал добиваться отставки. Она была ему разрешена с условием, что он будет посылать статьи в Берлинскую академию в течение нескольких лет, на что Лагранж согласился. Он с радостью принял приглашение Людовика ХVI продолжать математические исследования в Париже в качестве члена Французской академии. По прибытии в Париж в 1787 году он был с большими почестями принят королевской фамилией, а также академией. В Лувре ему была отведена комфортабельная квартира, в которой он жил до самой революции.

В возрасте 50 лет Лагранж почувствовал, что он выдохся. Это был классический случай нервного истощения, вызванного длительным и чрезмерным переутомлением. Парижане нашли в нем любезного и благожелательного собеседника, но не властителя умов. Он говорил, что его энтузиазм выгорел и что он потерял вкус к математике. Экземпляр «Аналитической механики» («Mecanique analytique»), лежал на его письменном столе не раскрытым в течение двух лет ставшая вершиной научной деятельности Лагранжа.

Гамильтон назвал этот шедевр «научной поэмой». В этой работе введены обобщенные координаты, разработан принцип наименьшего действия и впервые со времен Архимеда монография по механике не содержит ни одного чертежа, чем Лагранж особенно гордился. Устав от всего, что связано с математикой, Лагранж обратился к философии, эволюции мышления, истории религии, общей теории языков, медицине и ботанике. Увлекшись этой странной смесью, он удивил своих друзей обширными познаниями и проницательностью ума по вопросам, далеким от математики. Он предвидел, что в будущем лучшие умы человечества проявят наибольший интерес к химии, физике и естественным наукам, а математику считал законченной или, по крайней мере, вступившей в период упадка. К счастью, Лагранж жил достаточно долго, чтобы увидеть здоровое начало великой деятельности Гаусса, первого из пляды великих математиков — Абеля, Галуа, Коши и других.