Основные положения статистической физики

Функция распределения в фазовом пространстве

Как уже отмечалось, предмет статистической физики составляет изучение особого типа закономерностей, которым подчиняются поведение и свойства макроскопических тел, то есть тел, состоящих из огромного количества атомов и молекул.

Естественным было бы попытаться описать поведение таких систем, составляя на основе законов классической механики уравнения движения для каждой из частиц системы. Тогда, зная координаты и скорости всех частиц в начальный момент времени, можно было бы, решая полученную систему уравнений, предсказать поведение системы в целом в любой момент времени.

Однако практически такой путь не может быть реализован ввиду огромного числа получаемых уравнений. Действительно, например, I см^ъ воздуха содержит (при нормальных условиях) 2,69−10¹⁹ молекул, движение каждой из них описывается по меньшей мере тремя уравнениями. Кроме того, не ясно, как можно определить начальные положения и скорости всех частиц системы. Даже если бы каким-то образом это и удалось бы сделать, любая, сколь угодно малая погрешность в определении начальных условий привела бы к столь значительным ошибкам решения системы уравнений, что такое решение потеряло бы всякий смысл.

Понятно, поэтому, что никакие изменения состояния одной частицы системы (или микроскопического их числа) не могут привести к изменению состояния системы в целом. Это позволяет считать, что движение каждой отдельной частицы происходит случайным образом и использовать для описания макроскопических систем принципиально иные по сравнению с механикой (и другими динамическими теориями) методы. Именно наличие огромного числа частиц в макроскопической системе и случайный характер изменения состояния каждой из них приводит к появлению новых своеобразных закономерностей, которые называют статистическими.

Отсюда ясно, что выводы и предсказания статистической физики носят вероятностный характер. Практически, однако, при применении статистической физики к макроскопическим телам, ее вероятностный характер не проявляется. Это утверждение является следствием рассмотренной в предыдущем параграфе теоремы о флуктуациях. Так как число частиц в макроскопических телах огромно, то все характеризующие их величины с высочайшей степенью точности равны своим средним значениям. О таких системах говорят как о системах, находящихся в состоянии статистического равновесия. Если в какой-то момент времени замкнутая макроскопическая система не находилась в состоянии статистического равновесия, то в дальнейшем она обязательно перейдет в это состояние. Промежуток времени, в течении которого совершается такой переход называется временем релаксации системы. Статистическая физика (в узком смысле) занимается изучением именно систем, находящихся в состоянии статистического равновесия^[1]. Вопросы же, связанные с поведением неравновесных систем составляют предмет изучения кинетики.

Статистическое равновесие макроскопической системы в целом предполагает, что и любая ее макроскопическая часть находится в состоянии статистического равновесия. Такие части системы называют квазинезависимыми (квазизамкнутыми) подсистемами (см. § 4). Незамкнутая система тоже может рассматриваться как квазинезависимая в течение малых интервалов времени, за которые ее состояние статистического равновесия не нарушается, либо в том случае, когда внешнее воздействие на систему столь мало, что она остаётся в состоянии равновесия длительное время.

Несмотря на то, что движение каждой отдельной частицы макроскопической системы в конечном счете подчиняется динамическим законам механики, система в целом обнаруживает статистический характер своего поведения. При этом динамические законы движения отдельных частиц и статистические закономерности поведения макроскопической системы в целом, качественно отличны друг от друга. Статистические закономерности теряют всякое содержание при переходе к системам с небольшим числом частиц.

Прежде чем попытаться выявить эти закономерности, введём несколько новых понятий и, в первую очередь, понятие фазового пространства.

Пусть рассматриваемая система имеет s степеней свободы. Другими словами положение системы в пространстве характеризуется s координатами, которые мы будем обозначать q_h где / = 1,2, 3, …, s. (Так, если система состоит из N частиц, то s = 3N). Тогда состояние системы в данный момент будет определяться заданием s координат q_{ и s скоростей q_t. В статистической физике принято пользоваться для характеристики системы ее координатами q_t и импульсами р_г Различные состояния системы можно математически представить в так называемом фазовом пространстве: пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения координат и импульсов частиц системы.

Рис. 3.

Всякая точка фазового пространства изображает собой определённое состояние системы. С течением времени состояние системы изменяется и изображающая точка фазового пространства движется в нем вдоль некоторой кривой, которая называется фазовой траекторией системы.

Как указывалось выше, ввиду сложного характера поведения системы, невозможно точно указать ее фазовую траекторию. Однако можно вычислить вероятность того, что система находится в данной области фазового пространства.

Очевидно, что это есть вероятность того, что координаты частиц системы лежат в интервале от q до q + Aq, а импульсы — в интервале от р до р + Ар, которая равна.

Или, переходя к бесконечно малым интервалам,.

Функцию р (р, с]) = /?,>•••>Рзл>^<7р^<?2>" ч^<Узл) называют функ;

цией распределения в фазовом пространстве. Очевидно, что эта функция должна быть нормированной.

где интегрирование проводится, но всему фазовому пространству (т.е. по всей области изменения переменных р и q).

Нахождение функции распределения и является основной задачей статистической физики. Зная р (р, д), мы можем найти среднее значение любой физической величины L

• [1] Часто используются эквивалентные термины — термодинамическое равновесие, тепловое равновесие.