Свойства электромагнитных волн

В классической электродинамике электромагнитное поле в свободном пространстве описывается двумя векторами — Е и Н. Для учета влияния этих полей на вещество необходимо ввести еще два вектора, а именно вектор электрического смещения D и вектор магнитной индукции В. Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов (j = 0) и зарядов (р= 0) имеют следующий вид:

В векторной форме уравнения (1.2.1—1.2.5) применительно к идеальному диэлектрику записываются так:

где е₀ и jlXq — соответственно электрическая и магнитная постоянные.

Эти четыре уравнения выражают основные законы электродинамики в дифференциальном виде. Уравнение (1.2.1а) является дифференциальной формой обобщенного закона Ампера, описывающего генерацию индуцированного магнитного поля потоком зарядов. Уравнение (1.2.2а) — дифференциальное выражение закона индукции Фарадея, описывающего генерацию индуцированного электрического поля за счет изменяющегося во времени магнитного потока. Уравнение (1.2.3а) можно рассматривать как условие отсутствия свободных магнитных зарядов (монополей). Уравнение (1.2.4а) является дифференциальной формой закона Кулона, описывающего связь между распределением зарядов и электрическим полем.

Параметры 8 и ц, характеризующие среду, представляют собой тензоры второго ранга. Для изотропной среды они сводятся к скалярным величинам, во многих случаях величины е и ц можно считать независимыми от напряженности полей. Однако для сильных полей, таких, например, как поля, возникающие при фокусировке лазерного пучка или при облучении сильным электрическим полем, следует учитывать зависимость этих величин от Е и Н.

Применяя к обеим частям уравнения (1.2.1а) операцию rot, получаем:

где учтены соотношения (1.2.5) и принято во внимание, что порядок дифференцирований по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Принимая во внимание векторное равенство¹

и заменяя в правой части (1.2.5) rot Е его выражением 1.2.1), получаем уравнение для В:

¹ Родионов В. Н. Физика: учеб, пособие для СПО. 2-е изд., испр. и доп., 2017.

Аналогично, применяя операцию rot к обеим частям равенства (1.2.2а), получаем уравнение для Е:

Оператор

называется оператором Д’Аламбера, где c=l/л/еоНо — скорость света в вакууме.

Волновые уравнения (1.2.7) и (1.2.8) могут быть записаны в форме:

Огромную роль в физике играет волновое уравнение. Для скалярной функции Ф оно имеет вид.

Пусть Ф зависит только от одной из декартовых координат, например, z, т. е. Ф = Ф (z, t). В этом случае уравнение (1.2.11) принимает вид.

Введем новые независимые переменные: получаем, что:

Разделив обе части уравнения (1.2.14) на с и вычитая их почленно из левых и правых частей уравнения (1.2.15), получим:

Аналогично почленное сложение правых и левых частей тех же уравнений дает:

С учетом выражений (1.2.16) и (1.2.17) уравнение (1.2.18) можно преобразовать к виду.

Интегрируя (1.2.19), получаем независимую от ?, функцию, которая в данном случае может зависеть только от г, т. е. является произвольной функцией |/(г|). Тогда уравнение (1.2.19) принимает вид.

Интегрируя (1.2.20) по г|, получаем:

где ФДц) — первообразная функция в интеграле от |/(ri) по Ф₂(^) — постоянная интегрирования. С учетом формулы (1.2.13) общее решение уравнения (1.2.21) может быть записано в виде.

Волна, описываемая формулой (1.2.22), является суперпозицией двух волн, которые распространяются в двух противоположных направлениях (рис. 1.2.1)^[1]. В первом случае мы имеем стоячую волну, в более общем случае — сложное электромагнитное поле, требующее отдельного изучения. Значение функции Ф для фиксированных z и t является постоянным на плоскости, перпендикулярной оси z. Поэтому такие волны называются плоскими.

Если волна от точечного источника изотропна, то решение уравнения (1.2.21) необходимо искать в виде Ф = Ф (г, г), где г — расстояние от точечного источника, принятого за начало координат. Учитывая, что в сферической системе координат (г, 0, ср):

Решение (1.2.21) принимает вид.

Рис. 1.2.1. Волна движется:

а) — в направлении положительных значений Ф (г, t) = Ф₂ (z —ct),

б) — в направлении отрицательных значений Ф (г;, t) = Ф₂ (z + ct).

Общее сферически симметричное решение уравнения (1.2.21) имеет вид.

Первый член уравнения (1.2.25) описывает сходящуюся волну, которая движется в направлении уменьшений значений г (к центру). Второе слагаемое обозначает расходящуюся волну, которая движется в направлении уменьшения значений г (от центра). Общее решение (1.2.25) является суперпозицией сходящейся и расходящейся волн. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным. Такие волны называются сферическими. Необходимо заметить, что сферические волны — это идеализация, так как их не существует в природе, но они позволяют изучать процесс распространения любых световых волн.

Принцип суперпозиции утверждает, что световые волны разных частот и разных направлений распространяются в вакууме независимо друг от друга. Опыт подтверждает принцип суперпозиции в широких пределах: свету далекой звезды, идущей к нам из космоса, не мешает распространяться свет других звезд или свет горящей поблизости лампочки.

Если Ф₂ и Ф₂ являются гармоническими функциями своего аргумента, то волна называется гармонической^[2]. Для примера опишем функцию Ф2 в виде.

где Л — постоянная; со — частота гармонической функции.

Аргумент гармонической функции в (1.2.26) называется фазой волны. Волна, у которой поверхностями постоянных фаз являются плоскости, называется плоской. Учитывая, что X = ct = 2 пс/ со, (1.2.26) можно переписать в виде.

где /с=со/с=2п/Х — волновое число.

Пусть вектор к равен по модулю волновому числу и направлен параллельно оси Z в сторону положительных значений (рис. 1.2.1). Такой вектор называется волновым. Для произвольной точки, характеризуемой радиусом-вектором г, можно записать.

Эта формула не зависит от системы координат и характеризует плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора к.

Плотность потока энергии электромагнитного поля определяется вектором Пойнтинга.

модуль которого в случае плоской волны может быть представлен в виде.

так как 1/ц₀ =г₀с, перепишем соотношение (1.2.31) в форме.

Векторы Е и В плоской волны перпендикулярны вектору к, т. е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна является поперечной. Таким образом, Е, В и к составляют тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 1.2.2).

Рис. 1.2.2. Изменение векторов плоской волны в пространстве Электромагнитная волна обладает не только энергией, но и импульсом. В теории электричества и магнетизма было показано, что плотность импульса G электромагнитной волны связана с плотностью потока энергии S в ней соотношением.

• [1] Матвеев А. Н. Оптика.
• [2] Мусин Ю. Р. Физика: колебания, оптика, квантовая физика: учеб, пособие дляСПО. 2-е изд., испр. и доп., 2017.