Точечные оценки параметров случайной величины

Точечными оценками параметров называют такие оценки, которые выражаются каким-то одним числом (точкой). Таким числом может быть, например, параметр X закона Пуассона или параметры, а и, а нормального распределения. Не все переменные могут быть оценками.

Рассмотрим наиболее важные требования, которым должна удовлетворять оценка параметра генеральной совокупности.

1. Несмещенность. Оценка не должна содержать систематической ошибки. Это означает, что математическое ожидание оценки некоторого параметра, взятое по всем возможным выборкам, должно быть равно действительному значению параметра.

Если действительное значение оцениваемого параметра обозначить а₀, а его оценку а, то требование несмещенности запишется в виде.

Если это требование не выполняется, то в среднем оценка, а будет всегда давать значение а₀ с некоторым отклонением.

2. Состоятельность. Оценка, а должна приближаться к а₀ по мере увеличения объема выборки. Но ввиду того, что оценка, а является случайной величиной, об этом приближении можно говорить только в вероятностном смысле.

Для состоятельности оценки а, получаемой при выборке объема п, должно выполняться условие сходимости по вероятности, а к а₀

3. Эффективность. Из всех несмещенных и состоятельных оценок следует предпочесть такую, при которой большие отклонения при использовании различных выборок встречались бы как можно реже. Оценкой эффективности несмещенной оценки является ее дисперсия.

Математически требование эффективности означает требование минимальной дисперсии оценки.

Рассмотрим несмещенные точечные оценки параметров распределения. Запишем в виде таблицы полученные в результате изучения выборки значения признака X в неубывающем порядке х_г < х₂ <… < х_к. Такая последовательность называется вариационным рядом, а сами значения — вариантами. Если среди вариантов есть одинаковые, то вариационный ряд записывают в виде таблицы.

При этом сумма частот равна объему выборки, т. е.

" m, т₂ т_к

Величины —-, —…—- называются частостями или относип п п

тельными частотами. Ясно, что.

Часто вариационный ряд, записанный в виде такой таблицы, называют статистическим рядом распределения. Если во второй строке статистического ряда распределения вместо частот записать частости, то полученная таблица будет иметь большое сходство с рядом распределения дискретной случайной величины.

Тогда для указанной выборки можно построить полигон распределения и выборочную (эмпирическую) функцию распределения аналогично тому, как это делалось для дискретной случайной величины X.

Если значения признака изменяются непрерывно в некотором промежутке, то строят интервальный ряд, имеющий вид.

Графическим представлением интервального ряда является гистограмма, пример которой изображен на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Гистограмма интервального ряда.

Поскольку точные значения параметров распределения признака X в генеральной совокупности х₀ и в большинстве случаев определить не представляется возможным, то эти параметры следует оценить, используя соответствующие параметры выборки.

Выборочная средняя х представляет собой среднее значение признака X в выборке и определяется по формуле.

Если используется интервальный ряд, то за варианты х, принимаются, как правило, середины интервалов.

Выборочная дисперсия а² определяется по формуле.

или по упрощенной формуле

где х² определяется по формуле.

Выборочное среднее квадратическое отклонение о определяется как квадратный корень из а².

В качестве точечной оценки параметров генеральной совокупности может приниматься соответствующий параметр выборки.

Можно доказать, что:

1) х является несмещенной точечной оценкой х₀, т. е.

2) оценка а² для генеральной дисперсии является состоятельной, но смещенной. Поэтому вводят величину.

которая называется исправленной статистической выборочной дисперсией. s² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии т. е. M (s²) = o (j.

Величина s = Vs² называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением и является несмещенной точечной оценкой генерального среднего квадратичного отклонения ст₀, т. е.

Пример 8.1.

В следственном изоляторе проводилось измерение физических параметров заключенных, в частности приведены результаты измерения роста в сантиметрах у 100 случайно отобранных заключенных.

Найти несмещенные точечные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии признака X — роста заключенных в генеральной совокупности.

Решение. Взяв за варианты середины интервалов, строим вариационный ряд (п = 100).

Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

х является несмещенной точечной оценкой генеральной средней х₀, поэтому

а² не является несмещенной точечной оценкой Поэтому находим несмещенную точечную оценку s² генеральной дисперсии.

Таким образом, = s² = 33,78.

И наконец, сг₀ = s = -J33,78 = 5,81 см — несмещенная точечная оценка генерального среднего квадратического отклонения. ?