Пример применения дифференциальных уравнений в медицине

Применение дифференциальных уравнений в медицине продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. Отметим здесь же, что приложения дифференциальных уравнений в биологии и химии тоже имеют медицинский оттенок, поскольку в медицине важную роль играет исследование различных биологических популяций (например, популяции болезнетворных бактерий) и исследование химических реакций в организме (например, ферментативных).

В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x (t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y (t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z (t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

• 1) заболеваемость в момент времени t равна x (t)y (t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x (t)y (t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax (t)y (t) (a > 0);
• 2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx (t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения

x? = axy — bx,.

y? = — axy,.

z? = bx.

Задача. Покажите, что x'(y) = -1 + б/y, где б = b/a.

В силу этой задачи, как легко видеть, траектории системы имеют вид, изображенный на рис. 3. Уравнение, вообще говоря, не нужно, поскольку z = n — x — y. Подчеркнем, что нас интересуют только положительные значения переменных.

Рис. 3.