Метод графического сложения амплитуд

К выводам, получаемым при помощи метода зон Френеля, можно также прийти, пользуясь графическим методом сложений колебаний.

В основе метода графического сложения колебаний лежит понятие о векторе амплитуды а. Это такой вектор, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление относительно заданной оси определяется углом а, равным фазе рассматриваемых колебаний. Разобьем волновую поверхность на сколь угодно узкие зоны. Колебания, приходящие в точку Р от первой зоны, изобразятся вектором а_г (фазу этого колебания мы положим равной нулю). Тогда от второй зоны колебание изобразится вектором а₂, амплитуда которого несколько меньше, а направление соответствует сдвигу по фазе относительно первого колебания (рис. 6.6).

Рис. 6.6.

В отличие от метода зон Френеля различие по фазе между соседними колебаниями в данном случае много меньше п. В пределе поверхность волны разбивается на бесконечно малые зоны. При этом ломаная линия, образованная векторами амплитуд, превращается в спираль (рис. 6.7). Суммарное колебание в точке Р изобразится вектором а, соединяющим точку О с концом последнего вектора а_к, соответствующего колебанию, приходящему от последней из открытых зон.

Рис. 6.7.

Из рис. 6.7 ясно, что амплитуда результирующих колебаний, приходящих от полностью открытой волновой поверхности, в 2 раза меньше, чем амплитуда колебаний от первой зоны Френеля. Если диафрагму непрерывно раскрывать, увеличивая площадь открытой волновой поверхности, то, соответственно, будет увеличиваться число открываемых зон. Графически это отразится в перемещении конца результирующего вектора а по спирали. Ясно, что при таком движении вектора а

его длина будет периодически то увеличиваться, то уменьшаться. Это указывает на периодическое изменение интенсивности света в точке Р при непрерывном увеличении размеров диафрагмы.

Дифракция в параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера от одной щели

На щель шириной Ъ падает нормально пучок параллельных лучей света. Вторичные волны за щелью распространяются в различных направлениях (рис. 6.8). Выясним, какова будет интенсивность колебаний, распространяющихся за щелью под углом а.

Рис. 6.8.

Выделим в щели зону на расстоянии х от начала отсчета, шириной

dx

dx (рис. 6.9). Амплитуда колебаний от этой зоны dA = Aq—, фаза отно;

Ъ

сительно первого луча ср = кг = кх • sina. Таким образом, уравнение волны от этой зоны.

где к = 2n/X — волновое число.

Рис. 6.9.

Колебание от всей щели в направлении, а будет где.

Проанализируем результат.

" _Л г sinO.

Если а = 0, то с, = 0 и A-Aq- — = Aq.

Выражение sin^/^ имеет минимум при 2, = тп, т. е. если.

— условие минимума. Чтобы найти условие максимума, выражение (6.6) надо исследовать на экстремум.

При этом оказывается, что максимумы практически определяются условием.

При этом.

т. е.

— формула для расчета интенсивности максимума.

Эта формула дает результаты, согласующиеся с экспериментом.