Логическое исчисление. 
Логика естествознания

Классической дедуктивной логике иногда противопоставляют логическое исчисление, или алгебру логики, или логистику, как это исчисление иначе называют. При этом утверждают, что в логическом исчислении вводятся новые принципы умозаключений, неизвестные классической логике, а старые принципы умозаключений уточняются. На деле это все оказывается неверным. Не возражая по существу против возможности развивать логику в алгебраической форме, мы не находим, однако, в логическом исчислении ни одного нового принципа, которого не было было бы в силлогизмах обычного типа.

Возьмем основное соотношение логического исчисления — отношение связи вывода, которое признается неопределимым. Легко видеть, что это знакомое уже нам отношение логического сосуществования, содержащееся в условных суждениях. В самом деле, предложение «р следовательно q» означает следующее:

если дано р, то дано и q;

если q не дано, то не дано и р;

если дано q, то р под сомнением;

если р не дано, то q под сомнением;

Ничего другого в этом предложении «р следовательно q» не содержится. Но это и значит, что «р дано под условием q». Всякие интерпретации вроде следующих: «если р истинно, то q истинно», или «если q ложно, то р ложно»; или «не может быть р истинным и q ложным»; или: «либо р ложно, либо q истинно»^[1] — все это только различные стороны того факта, что предыдущий член дан под условием последующего.

Точно так же «логическая сумма» двух предложений или альтернативное утверждение их сводится к отношению сосуществования. Отношение «р или q» заключает в себе следующее:

если р не дано, то q дано;

если q не дано, то р дано;

если р дано, то q под сомнением;

если q дано, то р под сомнением.

Это все может быть выведено из одного отношения сосуществования: «не р дано под условием q», или «не р, следов., q».

В этом отношении альтернатива классической логики более содержательна, нежели «логическая сумма» логического исчисления; альтернатива «р или q», взятая в смысле, принятом в классической логике, не может быть сведена к одному отношению сосуществования, но заключает в себе два не эквивалентных отношения: «р, след., не q» и «не р, след., q».

Теперь рассмотрим отношения принадлежности к классу, как, например, предложение: «частный термин к принадлежит к классу а». Во-первых, следует указать, что связка отношения «принадлежит к классу» не определяет термин к, как индивид, и термин а, как класс, но только повторяет то, что уже заключено в содержании терминов. Во-вторых, отношение принадлежности к классу есть воззрительное, а вовсе не логическое отношение и, след., как такое, не пригодно для логических выкладок. Но в указанном отношении скрыто отношение частичного тождества: «термин к тождествен с некоторым членом класса а» или «к есть член класса а». Только это частичное тождество и может быть посылкой для умозаключений, а никак не самое отношение принадлежности к классу. Только теперь становится понятным, почему отношение «принадлежности к классу» непереходно:

у принадлежит к классу z.

х принадлежит к классу у.

Указанные предложения равносильны следующим:

класс у есть член класса z х есть член класса у Заключение невозможно, так как средний термин не одинаков: в первом предложении — класс у, во втором — некоторый член класса у. В логическом же исчислении непереходность отношения принадлежности к классу принимается как постулат.

Так как указанные тождества имеют частичный характер, то умозаключать можно, только комбинируя эти последние отношения с отношениями сосуществования; комбинация сосуществований и тождеств дает, как мы видели, категорические силлогизмы (II, 4).

Логическое исчисление ставит своей задачей сокращение числа первых принципов и понятий до наименьшего возможного количества. В этом отношении классическая логика имеет вполне определенное преимущество. Мы видели, что все формы умозаключений сводятся к применению трех законов — тождества, противоречия и исключенного третьего — к троякого типа утверждениям: существования, сосуществования и тождества.

Между тем в логическом исчислении мы находим целый ряд принципов, совершенно лишних и во всяком случае являющихся производными. Возьмем, например, принцип подстановки: «В общей формуле можно подставлять на место общего или неопределенного термина частный или индивидуальный термин»^[2].

Но дело совсем не в том, что можно вставлять в общую формулу частные термины. Дело в том, что общая формула имеет значимость под условием значимости частных формул. Следовательно, дело в том, что между частными терминами невозможны отношения, противоречащие отношениям, данным в общей формуле, если указанные частные термины обнимаются общими. Но отвергнуть отношения между частными терминами, несовместимые с общей формулой, можно только на основании закона противоречия. Таким образом без закона противоречия принцип подстановки в том виде, как он трактуется в логическом исчислении, был бы совершенно бесполезен. Но раз принят закон противоречия, то принцип подстановки^[3] вовсе не нужен как самостоятельное допущение.

То же самое можно сказать о так наз. «принципе силлогизма»: «Если из р следует q, а из q следует г, то из р следует г». Применение этой формулы к частным случаям невозможно без закона противоречия. Но также и сам принцип может быть выведен из закона противоречия (II, 4).

Легко видеть, что по отношению к остальным многочисленным принципам, которые мы находим в логическом исчислении, как то: принцип упрощения, принцип составления, принцип дедукции и т. д. — можно сказать буквально то же самое, что все они не могут быть применены к частным случаям без закона противоречия, и сами основываются на законах противоречия и тождества.

«Исчисление отношений» точно так же не вносит ровно ничего нового, так как отношения являются терминами умозаключений, а вовсе не их принципами. Между отношениями имеют место те же самые сосуществования и тождества, как и между всякими другими терминами. «Отношение R следовательно отношению S» — здесь посылкой служит не отношение R и не отношению S, но отношение сосуществования между ними.

Для умозаключений пригодны только т. н. переходные отношения и пригодны именно потому, что они могут быть сведены к отношениям сосуществования. Переходные отношения, взятые сами по себе, воззрительны и потому в качестве посылок непригодны.

Пусть нам даны посылки «А больше В» и «В больше С» или же посылки «А вправо от В» и «В вправо от С», из этих посылок нельзя сделать никакого формального вывода. Присоединить третье отношение «А больше С» или «А вправо от С» к двум данным можно только, прибегнув к помощи наглядного представления.

Геометры никогда и не прибегают к таким умозаключениям. В современной математике всегда, выставляются, как основные постулаты, такие предложения: «Если, А больше В и В больше С, то, А больше С». Иными словами, одновременная справедливость обоих предложений, А > В и В > С может быть дана только под условием предложения, А > С. Это и значит, что переходные воззрительные отношения сводятся к отношению сосуществования, так как только в этой форме они могут служить посылками. Теперь в каждом частном случае вывод возможен без обращения к интуиции, путем сравнения частной формулы с общей и применения закона противоречия.

После того как важнейшие переходные отношения будут сведены к отношению сосуществования и выражены в качестве постулатов, математическая система не будет нуждаться в каком-либо вмешательстве интуиции и будет развиваться в дальнейшем строго дедуктивно.

Точно так же, если равенство определить как геометрическую конгруэнтность, то вывод из отношения, А = В, В = С невозможен: присоединить третье отношение, А = С можно только при посредстве интуиции. Но если равенство определяется как численное тождество, тогда вывод возможен посредством простой подстановки; но при этом остается синтетическим суждением a priori конгруэнтность равных величин.

В схоластической логике суждение рассматривалось, как включение объема подлежащего в объем сказуемого. Но включение объемов есть воззрительное отношение, и, следовательно, формальный вывод из двух отношений включения невозможен. Поэтому было вполне логично видеть основание вывода в аксиоме dictum de omni et nullo; при этом указанная аксиома служит большей посылкой, а совокупность двух данных включений — меньшей. Примером явного обращения к интуиции служит вывод: «большинство В суть С; большинство В суть А, след, некоторые С суть А».

В итоге возможность логики отношений рисуется в следующем виде: если не дано переходных отношений между терминами, то надобно отыскать переходные отношения между отношениями. Указанные переходные отношения необходимо свести далее к отношениям сосуществования, а последние выразить в форме постулатов.

Но это значит, что отношения не дают никаких новых принципов умозаключений, неизвестных в классической логике. Формальные заключения из каких бы то ни было отношений или сводимы к силлогизму или невозможны.

• [1] См. Кутюра Фил. «Принц. Мат.», стр. 12.
• [2] Кутюра. «Принц. Мат.», стр. 15.
• [3] Не надо смешивать с подстановкой на основе закона тождества.