Происхождение математических постулатов

Проблема математической достоверности после Канта получила совершенно новую постановку. Кант первый указал на то, что математические суждения имеют синтетический характер; вместе с тем он утверждал, что математические аксиомы суть истины безусловные и необходимые. Указанные утверждения лежат в основании всей системы философии Канта.

В настоящее время установилась иная, а именно, эволюционная точка зрения на синтетические априорные суждения, точка зрения, основывающая последние всецело на опыте. Очевидность аксиом объясняется их привычностью для интеллекта; способность интуиции рассматривается как приспособление интеллекта к среде. Врожденная способность интуитивного созерцания объясняется как унаследованный нами от предков результат многочисленных опытов, которые были произведены в прошлые эпохи. Таким образом, с этой точки зрения способность интуиции только психологически априорна, логически же апостериорна, потому что в конечном счете основана на опыте. В силу этого же соображения данные в интуиции суждения не могут более считаться безусловно необходимыми истинами.

И современные математики усомнились в абсолютной достоверности интуитивного математического познания и даже в точности показаний интуиции и рассматривают основоположения математики как гипотезы. Но математика, построенная на гипотезах, носит уже эмпирический характер; гипотезы проверяются через свои следствия; но следствия, как учит логика естествознания (см. гл. 1), являются необходимым условием своих оснований, и поэтому дедуктивные доказательства не имеют действительной доказательной силы.

Итак, интуитивная математика утратила прежний ореол абсолютно точного и достоверного знания: однако математики не мирятся с таким положением вещей; они желают создавать не эмпирическую, но рациональную, безусловно достоверную, вполне дедуктивную систему. Интуитивная математика, в основании которой лежат синтетические априорные суждения, не удовлетворяет указанным требованиям; поэтому математики стремятся отвергнуть интуицию, отвергнуть синтетические суждения и обосновать математику на аналитических суждениях. Аналитические суждения, как суждения, разъясняющие априорно данные, но неотчетливо мыслимые понятия, — утратили свое значение; но математики строят такие аналитические суждения, в которых предикат заключен в субъекте или признается тождественным с ним в силу условного соглашения.

Условные соглашения! — вот те логически априорные суждения, которые нашла современная математическая теория, и на которых она желает обосновать всю математику.

Постулаты и аксиомы — это только условные соглашения и, кроме условного смысла, никакого другого смысла не имеют; определения также суть условные соглашения, а все остальные предложения выводятся из аксиом, постулатов и определений. Математика развивается абстрактно, без участия интуиции; аксиомы определяют понятия, постулаты определяют свойства пространства. Пространство, изучаемое в геометрии, может обладать всевозможными свойствами, и опятьтаки дело условного соглашения, какие свойства мы приписываем рассматриваемому нами пространству.

Условные соглашения ни истинны ни ложны; поэтому разум безусловно гарантирован от возможности каких-либо сомнений. Точно также следствия, выводимые из системы условных соглашений, не являются необходимыми условиями последних, так как они просто принимаются; поэтому невозможна никакая индуктивная проверка оснований через следствия. Таким образом, система, построенная на условных соглашениях, носит чисто дедуктивный характер в строгом смысле этого слова.

Однако необходимо подвергнуть критике эти притязания математики на логическую априорность и, следовательно, на абсолютную достоверность и точность. Необходимо поставить вопрос, где лежит источник получаемых познаний, каким образом посредством установления условных соглашений относительно значения произвольно взятых терминов возможно построить плодотворную отрасль знания? Математики не только не задают себе подобных вопросов, но, наоборот, как бы стараются блеснуть построением целого мира из ничего.

Ответ на поставленные вопросы может быть только один: те познания, которые вытекают, по-видимому, из условных соглашений, в действительности имеют своим источником все-таки интуицию. Если мы возьмем абстрактные исходные предложения математики, как, например, аксиомы расположения, конгруэнтности, постулат непрерывности и т. п., то все эти предложения имеют ту особенность, что их можно рассматривать как описания того, что мы находим в чистом наглядном представлении. Наглядные аксиомы Евклида и абстрактные аксиомы Гильберта и Кантора одинаково являются обобщенными описаниями наглядных образов, и разница между ними только в степени общности, т. е. в той сфере наглядных представлений, которую они обнимают.

Могут возразить так: аксиомы математики действительно выражены теми же самыми словами, как и описания наглядных представлений; это объясняется тем, что первые предложения математики действительно произошли из интуиции; но они отрешились от нее и абстрагированы от всякой наглядности; они не имеют даже никакого определенного смысла, поэтому они вполне условны; между тем для математики важно не происхождение предложений, а их логическое значение. Будучи раз приняты, математические предложения в дальнейшем делаются совершенно независимы от интуиции и не связаны с ней.

Это возражение было бы справедливо, если бы можно было всерьез утверждать, что условные соглашения математики не имеют ничего общего ни с интуицией, ни с эмпирической действительностью. Но это не так. Математика, всецело замкнувшаяся сама в себе, представляющая собой особенную систему, не связанную ни с чем, не знающая и не желающая знать никаких применений к образам интуиции или эмпирической действительности, такая математическая система есть фикция. Но подобное превращение математики в фикцию, в свою очередь, есть только фикция. Что бы ни говорили, никто не станет разрабатывать такую область, которая не имеет никаких применений, никаких интерпретаций, которая совершенно изолирована от всех прочих областей знания. Подобная система не имела бы никакой познавательной ценности. Итак, абстрактные математические предложения должны иметь наглядные интерпретации. Но интерпретация абстрактных предложений — ив этом сущность вопроса — является не случайным спутником абстрактных постулатов, наоборот, познавательная ценность последних определяется не чем иным, как возможностью интерпретаций. При этом очевидно, что нахождение интерпретаций — одной или многих — зависит всецело от интуиции. В дедуктивной системе форма может быть отделена от содержания, так как содержание безразлично для дедукции; но отсюда нельзя заключать, что суждения математики вовсе не имеют содержания. Наоборот, пустые формы без содержания абсолютно не ценны в математике точно так же, как и во всякой другой науке. В самом деле, формальных систем, содержащих п постулатов сосуществования, — m — существования и р тождеств между терминами, не имеющими смысла, может быть построено бесконечно много. Из этих систем имеют значение и подвергаются разработке только те, которые являются формами важных и интересных интуитивно данных соотношений. Все же остальные системы представляют собою формы пустые, никому и ни на что не нужные.

Наивна также следующая уловка: математика не делает, говорят, никаких категорических утверждений; в математике не утверждается, что, а есть Ь, что пространство удовлетворяет принятым постулатам и т. д.; утверждается только, что если, а есть Ь, то отсюда следуют дальнейшие выводы. Этим приемом достигают лишь того, что явные допущения заменяются неявными. В самом деле, если, а есть Ь, если пространство действительно удовлетворяет принятым постулатам, то принятой системой постулатов стоит заниматься; в противном случае она принадлежит к числу пустых, не имеющих значения форм без содержания. Следовательно, уже тот факт, что некоторая система постулатов тщательно разрабатывается, указывает, что постулатам приписывается определенное содержание.

Переходя к арифметике, мы и здесь встречаемся с интуицией, охватывающей область сравнения величин. Истины арифметики мы также находим в чистом наглядном представлении, т. е. мы также можем осознать чистую деятельность рассудка в процессе счета. Без сомнения, возможно дедуктивно развить арифметику, исходя из немногих предпосылок. Но эти посылки не только интуитивны, но можно сказать, что в своей совокупности они вбирают в себя все то, что мы можем усмотреть в наглядном представлении в области чисел.

Суждения, как 1 плюс 1 = 2; 2 плюс 1 = 3 и т. д., просто описывают находимое в наглядном представлении: существует единица; существует еще единица сверх данной; эти единицы могут быть взяты в совокупности и образовать целое, которое мы называем два; существует еще единица сверх рассматриваемых двух и т. д. — это все простые описания мысленных экспериментов; произвольного или условного в них только то, что единица изображается палочкой, а два — более закругленный знаком. Поэтому необходимо признать вслед за Кантом синтетическую природу арифметических операций.

Иногда пространственная интуиция может быть заменена интуицией в области чисел. Согласие этих областей интуиции не создается условными соглашениями, но дано a priori.

В математике много занимаются вопросом о независимости и совместимости постулатов; предпринимаются исследования для того только, чтобы доказать эту совместимость и независимость. Если постулаты не являются независимыми друг от друга, то отрицание одного из постулатов должно в конце концов привести к противоречию с другими постулатами. Точно так же, если постулаты несовместимы, то логическое развитие системы, включающей несовместимые предложения, должно привести к противоречию. Чтобы утверждать существование некоторого понятия в системе, необходимо доказать его совместимость с остальными понятиями, т. е. доказать, что употребление данного понятия не может привести к противоречию (Пуанкаре). Трудность заключается в том, чтобы доказать невозможность противоречия в одном случае или же обнаружить скрытое противоречие в другом.

Но если бы значение интуиции могло действительно свестись к нулю, если можно рассматривать первые предложения математики как произвольные соглашения, то самый вопрос становится непонятным. Непонятно, откуда может взяться противоречие в произвольно построенной системе? Каким образом оно может скрываться в основаниях и обнаруживаться в следствиях? Каким образом зависимость или независимость, совместимость или несовместимость постулатов может быть неясна с первого взгляда, из одной формы предложений, из простого употребления частицы «не»? Если исключена интуиция, то противоречие никак не может вкрасться в систему. Если же постулаты и аксиомы имеют интуитивную подкладку, если они являются обобщенными описаниями наглядных представлений, тогда делается понятным, что неточность в описании отношений, находимых в наглядном представлении, а также произвольно принятые гипотезы могут привести к противоречию с другими отношениями, также полученными через интуицию.

Таким образом ближайшее исследование показывает, что логически априорными могут остаться чисто фиктивные построения, такие, фикция в которых составляет альфу и омегу, и которые не могут иметь никаких приложений. Между тем, математика должна входить, как необходимое звено, в общую систему научных знаний. Но как только перестанем рассматривать математику как систему, совершенно изолированную, замкнутую в самой себе, как только будем рассматривать ее в связи с другими науками, к которым она применяется, — все ее предложения сейчас же превращаются в синтетические суждения, и было бы самообманом считать их чем-либо иным.