Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепей синусоидального тока

Ток и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.

Качественный контроль заключается в сравнении направлений различных векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение U_L должно опережать ток / на 90°, а напряжение й_с — отставать от тока / на 90°.

Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошибка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета, например в методе пропорциональных величин.

Пример 31.

В схеме (рис. 3.13. а) е — 141sincot В; = 3 Ом; R₂=2 Ом; L = 0,955 Гн. Угловая частота со = 314 рад/с. Определить ток и напряжение на элементах цепи.

Рис. 3.13.

Решение. Запишем уравнение для мгновенных значений:

Перейдем от него к уравнению в комплексах:

где Z = R_l+R₂ +;ooL = 3 + 2 +;314 • 0,955 = 5 + 3j = 5,82е>³¹°.

Комплекс действующего значения ЭДС Ё = 141/л/2=100 В.

Ток i-E/Z = 100/ (5,8е-'³¹°) = 17,2е^'³¹° А.

Напряжения на U_Rl-U_ab = /Я₁ =51,6е^_-'³¹° В; на R₂ U_R2-U_bc-iR₂ = = 34,4е->³¹° В, на L U_L = U_cd = ;wL7 = 3; 17,2е->³¹° = 51, бе^ В.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13, б. Вектор Ё направлен по оси +1. Вектор тока / отстает от него на 31°.

Пример 32.

Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин. Решение. Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на векторной диаграмме (рис. 3.13, в) по оси +1 О = 1). Напряжение на R₁ совпадает по фазе с током и численно равно 1? 3 = 3 В. Напряжение на R₂ также совпадает с током и равно 2 В. Напряжение на L равно 3 В и опережает ток на 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что при токе I = 1 А на входе Е = l5² +3² = 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в 100/5,82 = 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны быть умножены на коэффициент 17,2. На рис. 13.3, в все векторы повернуты на 31° против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13, б. Ясно, что взаимное расположение векторов на диаграмме при этом не изменилось.

Пример 33

В цепи (рис. 3.14, a) R = 4 Ом; to = 10⁵ рад/с. Определить емкость конденсатора С, если Е = 10 мВ; 1 = 2 мА.

Рис. 3.14.

Решение. Комплексное сопротивление цепи Z = R — ;/(соС), его модуль.

I— Е 10−10^-3

z = ylR² +1 / (соС)². По закону Ома I = E/z, отсюда z = — = ^_₃ ⁼ 5 Ом.

Следовательно, Х_с =-^— = y/z²-R² -у/б² -4² =3 Ом; С = 1/(10⁵ • 3) — соС.

= 3,33 мкФ. Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14, б.

Пример 34

На участке ab разветвленной цепи (рис. 3.15, а) параллельно включены индуктивное X_L = to! и активное сопротивление R, численно равное X_L. Показание амперметра А₂ = 5 А. Определить показание амперметра А₃, полагая сопротивления амперметров настолько малыми, что их можно не учитывать.

Рис. 3.15.

Решение. На рис. 3.15, б качественно построим векторную диаграмму. Напряжение U_ab совпадает по фазе с током /₂. Ток Д отстает от тока /₂ на 90° и равен ему по величине. Ток в неразветвленной части схемы /₃ =Д +/₂— Модуль тока 1₃ = 5² = 7,07 А. Амперметр А₃ покажет 7,07 А.

Пример 35

Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы на рис. 3.16, а, если Д = 1 A, R₃ = 10 Ом, соL₃ = 10 Ом, 1/(шС) = 14,1 Ом, toL₃ = = 20 Ом, R₃ = 2,5 Ом.

Рис. 3.16.

Решение. Обозначим токи и примем положительные направления для них в соответствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токов т₇ = 0,5 А/см и для напряжений т_и = 4 В/см. Ток Д направим по оси +1 (рис. 3.16, б). Падение напряжения U_Rj = 10 В и по фазе совпадает с током Д. Падение напряжения в индуктивном сопротивлении ooL также равно 10 В, но опережает ток Д на 90°. Геометрическая сумма t/_R] + [/_Ll по модулю равна 10л/2 = 14,1 В. Емкостный ток 1₂ опережает это напряжение на 90°. Модуль тока ₂ = 14,1/14,1 = = 1 А.

Ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов: /₃ -i₁+i₂. Модуль его равен —0,8 А (найден графически). Падение напряжения на сопротивлении R₃ равно 2 В и совпадает по фазе с током /₃. Падение напряжения на индуктивности L₃ опережает ток /₃ на 90° и численно равно 0,8? 20 = 16 В. Напряжение на входе схемы равно ЭДС и составляет около 18,3 В.

Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме рис. 3.16, а опытным путем найдены значения токов 1_Ь 1₂ и 1₃ (в ветви схемы включили амперметры и записали их показания), 1_г = 1 A, I₂ = 1 А, 1₃ — 0,8 А, и определены три напряжения: напряжение на входе схемы U-Е- 18,3 В, напряжение на конденсаторе U_c = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на третьей ветви (на R₃ и L₃) U₃ = 16 В. Напряжения были определены путем подключения вольтметра поочередно к зажимам а и е, а и с, е и с. По опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить векторную диаграмму.

Решение. На рис. 3.16, в отложим вектор 0_С, по модулю равный 14,1 В. Для сопоставления с рис. 3.16, б расположим его на диаграмме так же, как он расположен на рис. 3.16, б.

Изобразим на диаграмме ток 1₂. Он на 90° опережает напряжение й_с и по модулю равен 1 А. После этого построим на диаграмме токи и /₃, воспользовавшись тем, что три тока (Д, /₂и /₃) образуют замкнутый треугольник (см. рис. 3.16, б).

Для построения треугольника по трем сторонам (т. е. фактически для определения третьей вершины его) из конца вектора тока (из одной вершины треугольника) проведем дугу радиусом, равным току Д, а из начала вектора тока /₂ (^{т е}— из второй вершины треугольника) проводим дугу радиусом, равным току/₃.

Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину треугольника, т. е. точку, в которой оканчиваются векторы токов /₃ и Д. После того как на диаграмме определено положение вектора тока /₃, можно изобразить на ней векторы напряжения й₃ и ЭДС Ё.

Напряжения U_c, U₃ и ЭДС Ё также образуют замкнутый треугольник. Его построение осуществляется аналогично построению треугольников токов.

Из конца вектора U_c роводим дугу радиусом, равным 0₃, из начала вектора й_с — дугу радиусом, равным Ё. Дуги пересекаются в точках ей/.

Так как напряжение й₃ представляет собой падение напряжения от тока /₃ на последовательно соединенных R₃ и L₃, то оно по фазе должно опережать ток /₃, а не отставать от него.

Поэтому из точек е и /выбирают точку е (если бы выбрали точку/, то в этом случае напряжение й₃ — штриховая линия на рис. 3.16, в — отставало бы от тока /₃, а не опережало его).

В заключение отметим, что в треугольнике токов дуги тоже пересекаются в двух точках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16, в не показана.