Изображение первой производной

Известно, что функции f (t) соответствует изображение F (p). Требуется найти изображение первой производной df (t)/dt, если известно, что значение функции ДО при t = 0 равно ДО).

Подвергнем функцию df (t)/dt преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям (J udv = uv — j vdu). Обозначив е~Р¹ = и и df (t)/dt = dv, получим.

Но.

а.

Таким образом,.

или.

Изображение напряжения на индуктивном элементе

Изображение тока i равно Др). Запишем изображение напряжения на L: u_L — L—. По формуле (8.40) — ^ рДр) — ДО), где ДО) — значение dt dt

тока^при t = 0_. Следовательно,.

Если ДО) = 0, то.

Изображение второй производной

Без вывода дадим формулу.

Следовательно, изображение второй производной тока i

Изображение интеграла

t

Требуется найти изображение функции J/(t)dt, если известно, что о.

изображение функции /(t) равно F (p).

t.

Подвергнем функцию J/(t)dt преобразованию Лапласа:

о.

¹ Для сокращения записи вместо i (0_) пишем i (0); i (0) может быть и положительной, и отрицательной величиной; i (0) положительно, когда направление тока совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока в индуктивном элементе L.

t.

Примем j f (t)dt = и; d (e~PO = dv и возьмем интеграл по частям: о.

Первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию ДО (см. параграф 8.32): функция ДО если и растет с увеличением t, то все же медленнее, чем растет функция e^at, где а — действительная часть р. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет обра;

t

щения в нуль j f (t)dt. Следовательно, если ДО ^ F (p), то о.

Изображение напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе и_с часто записывают в виде и_с = — J idt,

где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекшим через него в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением п_с(0), которое на нем было при t = 0.

В соответствии с формулой (8.44) изображение —jidt равно Др)/(Ср),.

С

а изображение постоянной п_с(0) есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом^[1]:

Приведем простейшие операторные соотношения; часть их была выведена ранее, другая дается без вывода:

• [1] Для сокращения записи вместо ис (0_) пишем uc (0); ис (0) может быть и положительной, и отрицательной величиной. В формуле (8.45) ис (0) считают положительнойвеличиной, если направление ис (0) совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока через конденсатор.