Сложное сопротивление. 
Техническая механика: сопротивление материалов

Цель: сформировать представление об основах теории напряженно-деформированного состояния (НДС).

Теория напряженного состояния

До сих пор мы рассматривали такие случаи нагружения бруса, при которых задача оценки прочности не вызывала затруднений. Достаточно было в его опасной точке вычислить максимальное напряжение и сопоставить с предельным напряжением материала, полученным непосредственно из опыта. Так, при оценке прочности бруса, работающего на растяжение, максимальное расчетное напряжение сравнивалось с предельным напряжением материала, полученным при испытании на растяжение. Для бруса, испытывающего кручение, максимальное расчетное напряжение сопоставлялось с пределом текучести или прочности материала при кручении, опять-таки полученным опытным путем.

Но как быть в том случае, если брус одновременно закручивается и изгибается? Как в этом случае оценить прочность? Ведь на практике очень часто встречаются детали, испытывающие совместное действие нескольких видов нагружения. Например, валы различных машин испытывают одновременное действие изгиба и кручения. И даже если для материала известны предельные напряжения при изгибе и кручении, нельзя сказать, как он поведет себя при их совместном действии, так как нам неизвестно, при каком соотношении касательных напряжений кручения и нормальных изгибных напряжений в материале появляются признаки разрушения.

Естественно, лучший способ создать такие же напряжения в образце и, пропорционально увеличивая их, довести образец до разрушения и тем самым непосредственно из испытания определить предельные напряжения. Но если хотя бы одно из напряжений изменится, то результатами предыдущего эксперимента уже воспользоваться нельзя, так как новому соотношению напряжений изгиба и кручения будут соответствовать свои диаграммы испытания, другими словами, свои предельные напряжения. Таким образом, возникает задача оценки прочности при сложном напряженном состоянии. Прежде чем перейти к решению этой задачи, необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями теории напряженного состояния.

Теория напряженного состояния позволяет выработать единый критерий оценки напряженного состояния для различных нагружений, а также выработать единую методику решения прочностных задач при любых видах нагружения.

Взаимодействие между частями элемента конструкции можно охарактеризовать величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента. Эти величины зависят от направления сечения, проведенного через точку.

Рис. 86. Схема напряжений в элементе тела: а) пространственное тело; б) напряженное состояние выделенной точки К.

Рассмотрим тело, нагруженное произвольной системой сил (рис. 86, а). Возьмем внутри тела некоторую точку Л* и в окрестности этой точки выделим бесконечно малый элемент (прямоугольный параллелепипед или кубик). Если размеры граней этого параллелепипеда уменьшать или, как говорят, стягивать его в точку, то в пределе все грани пройдут через выбранную нами точку К и напряжения в них можно рассматривать как напряжения в точке К.

В общем случае нагружения в каждой грани параллелепипеда возникают напряжения, причем полное напряжение в каждой из них может быть разложено на три составляющие, параллельные выбранным осям координат. Составляющие, перпендикулярные к площадкам, называются нормальными напряжениями-. а_х, о_у, а_х, а составляющие, лежащие в плоскостях граней, — касательными напряжениями-. т_х, т_у, т_х (рис. 86, б). Эти составляющие напряжений называются компонентами напряженного состояния. На противоположных гранях возникают равные, но противоположно направленные напряжения. Компоненты напряжений можно записать в виде квадратной матрицы, называемой тензором напряжений:

где в первой, второй и третьей строках расположены составляющие напряжений соответственно на площадках, перпендикулярных к осям х, у, z.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок (сечений), которые можно провести через данную точку тела, характеризует напряженное состояние в точке.

Для проведения анализа напряженного состояния исследуемой точки необходимо:

• 1) выделить в окрестности исследуемой точки элементарный кубик (или параллелепипед), ориентированный своими гранями по избранным координатным осям xyz;
• 2) используя метод сечений, определяют внутренние силовые факторы, а затем и напряжения, возникающие на гранях параллелепипеда (рис. 86, б). При этом достаточно двух сечений, напряжения на остальных гранях определяются, исходя из условия равновесия этого элементарного параллелепипеда.

Касательные напряжения на гранях обозначают согласно закону парности касательных напряжений (на взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены оба — либо к ребру, либо от ребра). Этот закон доказывается из рассмотрения равновесия параллелепипеда.

Очевидно, что напряжения на гранях будут меняться, стоит только изменить ориентацию граней относительно осей.

При этом можно повернуть параллелепипед таким образом, что касательные напряжения на гранях исчезнут и останутся одни только нормальные напряжения (рис. 87).

Рис. 87. Виды напряженных состояний точек: а) линейное; б) плоское; в) объемное Эти нормальные напряжения для данной точки называются главными напряжениями, а соответствующим образом повернутые площадки параллелепипеда, на которых касательные напряжения отсутствуют, называются главными площадками.

Г лавные напряжения однозначно определяют напряженное состояние точки и обозначаются как о_и а₂, Своими направлениями главные напряжения определяют так называемое главное пространство напряжений точки (координатные оси в главном пространстве согласуют с направлениями главных напряжений).

Между главными напряжениями существует следующая зависимость: С > а₂ > Оъ, т. е. максимальное (в алгебраическом смысле) главное напряжение принято обозначать 0, следующее по величине — <�т₂, а наименьшее — сг₃.

Обратите внимание: нормальные напряжения по любым площадкам, проходящим через данную точку, имеют промежуточные значения между 0 и а₃.

В зависимости от числа действующих главных напряжений различают три вида напряженного состояния точки:

• -линейное или одноосное (рис. 87, а если два главных напряжения равны нулю;
• — плоское или двухосное (рис. 87, б), если одно из главных напряжений равно нулю;
• — объемное (рис. 87, в если все три главных напряжения отличны от нуля.

В дальнейшем будет показано, что определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчетов на прочность при сложном напряженном состоянии.