Прямое и обратное преобразования Гильберта

Поскольку спектр сопряженного сигнала s (t) равен S (jco) = -jsgn (oo) SОш), то сам сигнал s (t) может быть определен как свертка функции s (t) и некоторой функции времени ДО, которая определяется по обратному преобразованию Фурье от функцииjsgn (w).

Последнюю представим так (рис. 9.5, г):

Тогда.

По формуле свертки.

Из (9.30) следует S (jo)) = jsgn (w)S (ja)). Поэтому по формуле свертки.

Формулу (9.32) называют формулой прямого, а формулу (9.33) — обратного преобразования Гильберта. Для них приняты обозначения Я и Я^-1. Так, s (0 = H^-1(s (0), s (t) = n (s (t)). Ядра подынтегральных функций (9.32) и (9.33) при т = t терпят разрыв, поэтому интегралы следует понимать в смысле главного значения. Например, интеграл (9.32) вычисляют так:

Вейвлет-преобразование сигналов

Под вейвлет-преобразованием понимают преобразование сигнала ДО путем воздействия на него малой всплесковой функцией.

~1=УаЬ~—^— 1 называемой вейвлет-функцией (параметры а и b которой фа У a J

изменяются во времени), с целью выявления в сигнале низкочастотных и высокочастотных составляющих и фиксации времени появления этих составляющих.

Применяют прямое и обратное вейвлет-преобразования. Прямое вейвлет-преобразование позволяет получить вейвлет спектр ГГДа, Ъ) функции/(t):

а обратное вейвлет преобразование — образовать функцию ДО по ее вейвлет спектру НДа, Ь):

Постоянная.

где |/(со) — преобразование Фурье вейвлета |/(0; когда норма каждого вейвлета равна 1, Су = 1.

Вейвлет-преобразование применяют к аналоговым и цифровым, к однои многомерным сигналам.

Под материнским вейвлетом понимают функцию |/(t), принятую при конкретном вейвлет-преобразовании. Множитель 1/ 4а в вейвлет-функции -^=f_ab( -—- ] устанавливает зависимость нормы вейвлет 1а V a J

функции от параметра а. Изменением коэффициентов а и Ъ по специальной программе формируют вейвлеты, которыми последовательно воздействуют на сигнал ДО и которые следуют друг за другом при вейвлет-преобразовании (9.32).

Наиболее распространенным материнским вейвлетом, по международной классификации называемым МНАТ второго порядка, является вейвлет (1 -t²)e^-f2/2, представляющий собой вторую производную по времени от функции Гаусса е~^{с /2}. Он по форме напоминает мексиканскую шляпу (рис. 9.6, а). По сравнению с другими известными типами вейвлет-функций он лучше других характеризует сигнал ДО по времени и частоте.

Масштаб во времени функции j/_ab(t) изменяют коэффициентом, а (рис. 9.6, б), сдвиг во времени — коэффициентом Ъ (рис. 9.6, в).

На рис. 9.7, а изображены три функции |/_ab(t) с различными значениями коэффициента а и различной длительностью импульса. По отношению к каждому из них можно говорить об эффективной длительности импульса т_э и об эффективной ширине соответствующей ему части частотного спектра Ао)_э. Произведение т_эАсо_э (площадь прямоугольника на рис. 9.7, е) характеризует большую часть энергии импульса. Благодаря свойствам самого вейвлета площади прямоугольников во всех трех случаях, изображенных на рис. 9.7, б, оказываются одинаковыми. При вейвлет-преобразовании (9.34) эти прямоугольники выполняют роль окон, через которые «просматривается» сигнал/(t). Вейвлет-спектр сигнала VVf (a, b) содержит в себе информацию о частотно-временном произведении сигнала т_эДсо_э, в котором содержится большая часть энергии сигнала. С помощью преобразования Фурье получить подобную частотно-временную информацию о случайном сигнале либо затруднительно, либо невозможно, когда сигнал случайный и нестационарный (так как вероятностные свойства последнего зависят от момента начала отсчета времени). За это вейвлет-анализ в литературе иногда называют математическим микроскопом сигнала.

Рис. 9.6.

Рис. 9.7.

Подробнее о теории вейвлет-преобразования и его применении в различных областях техники можно узнать из следующих источников: учебного пособия под ред. А. Н. Яковлева «Радиотехнические цепи и сигналы» (М.: ИНФРА, 2003), книги В. И. Воробьева и В. Г. Горбушина «Теория и практика вейвлет-преобразования» (СПб.: ВУС, 1999), статьи В. Г. Миронова и М. К. Чобану «Состояние и перспективы цифровой обработки многомерных сигналов» (Электричество. 2002. № 11. С. 58—69).

Вопросы для самопроверки

1. Чем принципиально отличается ряд Фурье от интеграла Фурье? Запишите и прокомментируйте формулы прямого и обратного преобразования Фурье.

• 2. Чем объяснить, что при обратном преобразовании Фурье кроме положительной угловой частоты используется и отрицательная?
• 3. Любая ли функция может быть преобразована по Фурье?
• 4. Для функции/(t) известна F (p). Как записать S (jco) этой функции?
• 5. Постройте графики модуля и аргумента спектров функций te~^at и (1 — - at)e~^at; функции равны нулю при t < 0.

" * I. м 1 1 2соа _ч

ООтвет. Для te~^at S (ju>) | = —-5-, |/ = -arctg——.).

a^z _m ^z a^z — со²

• 1+ - a
• 6. Сформулируйте и докажите теорему Рейли, дайте ей физическое толкование.
• 7. На резистор сопротивлением R = 10 Ом воздействует импульс напряжения, модуль спектра которого S ((o) = 2yfn при 0 < со < 10³. В остальной области частот S (co) = 0. Определите энергию, выделившуюся в резисторе.
• (Ответ. 400 Дж.)
• 8. Что понимают под полосой пропускания реального четырехполюсника?
• 9. Определите полосу частот, занимаемую прямоугольным импульсом длительностью 1 мкс.

СОтвет. 6,28 • 10⁶ рад/с.).

• 10. Чем руководствуются при составлении укороченных схем четырехполюсника при исследовании деформации фронта и вершины проходящего через него короткого импульса?
• 11. Определите текущий спектр S_t(jco) функции ДО = e~^at, полагая, что/(t) = 0 при t < 0.

I — _e-(a+jco)t.

(Ответ.-.).

а + j со.

• 12. Проверьте правильность формулы 8(0 = — J cos соtdt.
• 2 71
• —00
• 13. Покажите, что спектр 8-функции равен 1.
• 14. Покажите, что если функция ДО имеет спектр SQ’co), то спектр функции af (at) равен S (jo)/a).
• 15. Покажите, что если сигнал s (0 представляет собой амплитудно-модулированное колебание 1/(1 + msinOOsincot, то при со «Q сопряженный сигнал s (0 = 1/(1 + msinQOcoscot.
• 16. Определите автокорреляционную функцию прямоугольного сигналаД (0 на рис. 9.1, в.
• (Ответ. Я (т) =А²1_И(1 — |т| А_и).)
• 17. Определите энергию и норму сигнала симметричной треугольной формы на рис. 8.46, б.
• (Ответ. ^/с²Д и Д.)