Предисловие. 
Методы оптимизации в необратимой термодинамике

Книга предназначена инженерам, формулирующим и решающим экстремальные задачи. Экстремальные задачи возникают в самых разных приложениях, и роль инженеров не только в постановке задач, но и в развитии методов их решения очень значительна. Важно, чтобы они не только знали существующие результаты, но и представляли, как эти результаты получены. Поэтому во введении изложены общие логические схемы методов решения экстремальных задач.

Затем в следующих главах эти схемы изложены подробнее и проиллюстрированы на примере задачи нелинейного программирования и ее усредненной постановки. Показано влияние усреднения на вид условий оптимальности. Конечномерная задача позволяет проиллюстрировать полученные соотношения рисунками, поясняющими их геометрическую сущность.

Пятая глава посвящена вариационным задачам. Число возможных вариантов постановок этих задач огромно, так как типы связей между переменными и критерии оптимальности вариационных задач очень разнообразны. Нет никакого смысла доказывать условия оптимальности для каждого возможного сочетания критерия оптимальности и связей между искомымыи функциями. В книге изложен принцип максимума в такой форме, которая позволяет получить расчетные соотношения, определяющие решение для произвольного сочетания различных типов связей и критериев оптимальности. Здесь же рассказано о некоторых приемах преобразования вариационных задач, позволяющих упростить их решение или получить оценки величины критерия оптимальности на искомом решении.

Во второй части книги рассказано о приложениях методов оптимизации и оптимального управления к задачам термодинамики необратимых процессов (оптимизационная термодинамика). Здесь изложены результаты этого направления, касающиеся предельных возможностей тепловых, тепло-механических, массообменных и других систем. Полученные оценки эффективности термодинамических систем значительно более точные, чем обратимые оценки равновесной термодинамики, они учитывают ограничения на продолжительность процессов, интенсивность потоков, величину поверхностей теплои массопереноса. Если показатели проектирующейся системы теплообмена, разделения и пр. превышают полученные оценки, система физически не реализуема, как не реализуема тепловая машина с коэффициентом полезного действия, превышающим КПД Карно. Формализация и решение прикладных задач оптимизационной термодинамики являются иллюстрацией применения подходов и методов, изложенных в первой части книги.

Автор благодарен М. А. Нуцковой за большой труд по оформлению рукописи.

Введение

Содержание книги в неформальном изложении

Общая форма записи экстремальной задачи

Любую экстремальную задачу можно записать в форме.

Здесь I — критерий; у — искомое решение; D — множество решений, допустимое по условиям задачи. Задачи существенно отличны одна от другой в зависимости от природы этих величин. I — обычно скалярная величина, у может быть вектором, скалярной или векторной функцией; наконец, множество D определено ограничениями, наложенными на каждую из составляющих искомого решения, связями между его отдельными составляющими, требованиями к классу искомых функций и пр. Оно может включать все граничные значения переменных (быть замкнутым) или не включать часть границ. От критерия I требуется, чтобы он был определен на D, т. е. его можно было вычислить для любого у е D с любой наперед заданной точностью.

Запись задачи в форме (В.1) очень общая, она мало что дает при создании алгоритмов решения конкретных типов экстремальных задач, но полезна для общих определений и понимания «идеологии» тех или иных алгоритмов.

Решение и значение, локализация и расширение

Решением экстремальной задачи (В.1) называют такое значение у (будем его обозначать, как у*), для которого выполнено неравенство.

Таким образом, решение нельзя улучшить, переходя от него к любому допустимому.

Величину/(у*) называют значением задачи (В.1). Будем обозначать ее через Г.

Целью решения прикладных задач является нахождение их решения или их значения. Соответственно будем называть такие задачи задачами об оптимальном решении и об оптимальном значении.

На первый взгляд, такое разделение бессмысленно, ведь, не найдя у*, нельзя найти и Г. Это так, если задача сформулирована аналитически и может быть решена аналитическими методами. Если же задачу решают численно, то в зависимости от принадлежности к одному из названных классов алгоритмы оказываются различными. Часто в задачах существенные изменения у на некотором подмножестве D_r множества D практически не влияют на /(у). В задачах об оптимальном значении это допустимо. В задачах об оптимальном решении применяют специальные модификации I или дополняют требования к D.

Задача (В.1) может не иметь ни решения, ни значения, например если есть элементы множества D, при приближении у к которым величина /(у) стремится к бесконечности. Или наоборот, /(у) ограничено на D, но растет при приближении у к пределу, который не допустим.

Заранее по условиям задачи обычно трудно сказать, имеет ли она решение. Для широких классов задач есть условия существования решения. Эти условия, как правило, достаточные: если они выполнены, то решение существует, а если не выполнены, то, возможно, тоже существует.

Если /(у) ограничен сверху на D, то решение не обязательно существует, но должна существовать максимизирующая последовательность {y_v}* допустимых решений, на которой последовательность {/(y_v)}* стремится к пределу Г. Такую последовательность называют^[1] обобщенным решением, а предел, к которому стремятся I на максимизирующей последовательности, — обобщенным значением задачи (В.1).

Для того чтобы найти оценку Г снизу, достаточно вычислить / на любом допустимом решении. Если D содержит небольшое число элементов, то найти Г и одно или несколько у* нетрудно, перебрав все допустимые у. Однако это редкий случай. Как правило, множество D содержит такое число элементов, для которого простой перебор невозможен. Надо научиться вычислять оценку Г снизу для сравнительно малого числа «перспективных» элементов. Одним из способов выбора таких элементов D является локализация. При этом множество D разбивают на более мелкие подмножества D_d, на каждом из которых решение задачи (В.1) сравнительно просто. «Лучший» элемент D_d — уР и является перспективным. Искомое решение тоже принадлежит к числу найденных с использованием локализации.

Для оценки Г сверху и для доказательства ограниченности I на D нужно решить ту же задачу (В.1), но не на D, а на некотором более широком множестве VdD. Если решение задачи на Vпроще, чем наD, а критерий I определен на элементах этого множества, то задачу.

называют расширением задачи (В.1), а значение этой задачи /* >Г

Расширенных множеств можно построить сколь угодно много, например, отбрасывая те или иные ограничения исходной задачи. Каждое расширение будем характеризовать индексом X. Получим семейство расширенных задач.

Значение каждой из них обозначим как.

Самой точной оценке соответствует такое X = X*, для которого.

4*.

Если же решение расширенной задачи у*(А,*) при X* окажется внутри D, то оно в силу (В.5) и есть искомое, а если существует последовательность {у*} е D, стремящаяся к у*к* то эта последовательность — обобщенное решение, а — обощенное значение задачи (В.1).

В некоторых случаях можно доказать, что расширение обладает таким свойством, т. е. если исходная задача имеет решение у*, то оно является и решением расширенной задачи при некотором X, а если решения у исходной задачи нет, то найдется решение расширенной задачи, к которому стремится обобщенное решение {y_v}* исходной. В этом случае расширение называют эквивалентным.

Одним из способов расширения является переход от исходной задачи (В.1) к усредненной постановке. При этом критерий I заменяют критерием I, равным среднему значению I при многократном решении, а множество D заменяют множеством DdD. Все или часть условий, определяющих D, при переходе к усредненной постановке должны выполняться не для каждого решения, а лишь в среднем по множеству решений.

Если можно доказать, что решение усредненной задачи совпадает с решением исходной или значение усредненной задачи I * может быть сколь угодно точно приближено последовательностью {Iv = I (yv)}, гдеуу е е D, то усредненное расширение — эквивалентное.

Эквивалентные преобразования экстремальных задач

Одна и та же экстремальная задача может быть формально поставлена (формализована) в разном виде. При этом каждая из задач будет эквивалентна другой. Задачи А₂ и А₂ эквивалентны, если между элементами множеств их допустимых решений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что «лучшему» решению А₁ соответствует «лучшее» решение А₂. Тогда оптимальному решению А_г соответствует оптимальное решение А₂, значению соответствует значение Аз;

Все эти задачи образуют класс эквивалентности А. Трудоемкость решения задач из класса, А может быть существенно разной. Поэтому одной из проблем при решении экстремальных задач является подбор такого эквивалентного преобразования (оно оставляет задачу в А), которое облегчает ее решение. Естественно считать расширение любой задачи из класса эквивалентности А расширением для любой другой из входящих в него задач.

Необходимые и достаточные условия оптимальности

Чтобы решение задачи у* оказалось лучшим на D, необходимо, чтобы оно было лучшим на любом подмножестве D_fc. с D, включающем это решение. Поэтому необходимые условия оптимальности получают как условия оптимальности на локальном подмножестве D_e. Образуют эти «подмножества сравнения» так, чтобы получившиеся условия неулучшаемости решения имели конструктивный характер.

Достаточным условием оптимальности у* является сочетание двух требований.

• 1. Оно должно быть оптимальным решением расширенной задачи (на V с D).
• 2. Оно должно принадлежать D.

Если расширение заведомо эквивалентно, а решение исходной у* существует, то можно в качестве необходимых условий оптимальности исходной задачи использовать необходимые условия оптимальности расширенной. Если же решения у исходной задачи нет, то необходимые условия оптимальности эквивалентной расширенной задачи выделяют предел, к которому стремятся обобщенные решения исходной, которых обычно много.

Приложения методов оптимизации к термодинамическим

системам

Современная термодинамика возникла при решении экстремальной задачи: какую максимальную работу, А можно получить из заданного количества теплоты Q, переданной от горячего тела с температурой Т₊ к холодному с температурой Т_ < Т₊ (температуры, измеряют в градусах Кельвина)?

Задачу эту решил в 1824 г. С. Карно, без ее точной постановки, не зная закона сохранения энергии и понятия энтропии. Тем не менее его решение оказалось правильным:

Задача Карно — это задача об оптимальном значении, оптимального ее решения не существует. Это предел последовательности функций {T,(t)} изменения температуры рабочего тела тепловой машины, каждая из функций Г,(0 переключается между температурами Г₊ и Г_. Причем продолжительность контактов рабочего тела с источником и приемником теплоты на максимизирующей последовательности стремится к бесконечности. Задача Карно и ее обобщения для тепловых машин с заданной мощностью или с ограниченной продолжительностью цикла будут рассмотрены подробно во второй части книги.

Классическая термодинамика исследовала тепловые, химические, массообменные системы для газообразных и конденсированных сред. При этом продолжительность процесса не была ограничена. Процессам, соответствующим максимуму извлеченной работы или минимуму затраченной энергии, соответствовало такое их протекание, при котором интенсивность потоков обмена была сколь угодно мала, а продолжительность сколь угодно велика. Такие процессы обратимы, т. е. могут быть проведены в обратном направлении без дополнительных затрат энергии. Все реальные процессы с ненулевой интенсивностью, конечными поверхностями контакта и пр. необратимы. Степенью необратимости является прирост энтропии системы. Поэтому естественно было найти процессы, которые при заданной средней интенсивности обеспечивали бы минимально возможный прирост энтропии, — процессы минимальной диссипации.

Оптимизационная термодинамика или термодинамика при конечном времени, развивающаяся с 1957 г.^[2], ставит и решает задачи о предельных возможностях термодинамических систем с учетом ограниченной продолжительности или заданной интенсивности процессов.

Перечислим типовые задачи оптимизационной термодинамики, решения и постановки которых изложены в книге.

• 1. Процессы тепловые, химические, массообменные, имеющие минимальную необратимость при заданной интенсивности.
• 2. Процессы в однои многопоточных теплообменниках с минимальной необратимостью при заданной тепловой нагрузке.
• 3. Предельные возможности тепловой машины (максимальная мощность при ограничении на коэффициенты теплообмена, максимальный КПД при заданной мощности, множество реализуемых режимов в плоскости мощность — расход теплоты).
• 4. Предельные возможности холодильных циклов и тепловых насосов.
• 5. Процессы разделения смесей из двух и более компонентов (максимальная производительность, максимальный КПД при фиксированной производительности, множество реализуемости в плоскости производительность — затраты энергии, выбор последовательности разделения).
• 6. Оптимальное охлаждение кристаллической системы с использованием лазерного излучения.

• [1] Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.
• [2] Новиков И. И. Эффективный коэффициент полезного действия атомной энергетической установки // Атомная энергия 1957. Т. 3. Вып. 11. С. 409—412.