Степенные ряды. 
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление

Степенным, рядом называется ряд вида.

где ?o, Co, Ci,… — заданные комплексные числа, a z — комплексное переменное. Числа сю, сь… называются коэффициентами. a zq центром степенного ряда.

Степенные ряды являются, очевидно, частным случаем функциональных рядов; они играют исключительно важную роль в теории функций. Представление о множестве сходимости степенного ряда дает следующая теорема.

Рис. 38.

Теорема 21.1 (теорема Абеля). 1. Если степенной ряд (21.1) сходится в некоторой точке. Z и Z ф Zo, то он абсолютно сходится. при любом 2, удовлетворяющем неравенству z — Zo < z — Zo (m.e. внутри окружности с центром проходящей через точку Z) (рис. 38).

2. Если ряд (21.1) расходится в некоторой точке z%, то он расходится при всех z, удовлетворяющих неравенству z — Zq > z2 — Zo (m.e. вне окружности с центром Zq. проходящей через 22).

ос Доказательство. 1. Пусть ряд c_n(z — 2о)^п сходится. По п=0.

необходимому признаку сходимости lim c_n(zi — zo)ⁿ = 0. Посколь;

П-? ОО ку всякая последовательность, имеющая предел, ограничена, то найдется такое число М > 0, что c_n(z — 2o)^w| ^ М, п = 0,1,2,… Возьмем любую точку 2, ДЛЯ которой z — Zq < — 2о|, и положим q = = z — za/zi — Zq. Очевидно, что 0 ^ q < 1 и.

ОО прогрессию). По признаку сравнения (см. § 19) ряд ^2 ^cn (z — zo)ⁿ

п=О тоже сходится, и первая часть теоремы доказана.

(мы воспользовались тем, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей: wiWo = |tci| • |ic-2|).

ос;

Итак, |c_n(z — 2o)ⁿ| ^ Mqⁿ. Поскольку q < 1, то ряд J2 Mqⁿ схо;

п=о дится (его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую.

2. Для доказательства второй части можно было бы провести аналогичное рассуждение. Но мы поступим проще, выведя нужное утверждение из уже доказанного предыдущего. Будем рассуждать от противного. Предположим, что утверждение 2 теоремы неверно, т. е. ряд (21.1) расходится в точке 22, и при этом найдется точка 2^;, удовлетворяющая неравенству |z' — zq > z% — zo, ^в которой ряд (21.1) сходится. Но если ряд (21.1) сходится в точке 2', то в силу первой части теоремы он должен сходиться и в любой точке г, удовлетворяющей неравенству z — Zo < z' — Zq. В частности, он должен сходиться в точке 22, что противоречит условию. Значит, наше предположение о том, что ряд (21.1) сходится в некоторой точке г', для которой z^r — 2q| > z2 — zq. является неверным, т. е. во всех точках, удовлетворяющих указанному неравенству, ряд (21.1) расходится, что и требовалось доказать.

Пользуясь теоремой Абеля, рассмотрим подробнее геометрические свойства множества сходимости степенного ряда. Возьмем некоторый луч, исходящий из точки zq. Прежде всего отметим, что в самой точке zq ряд (21.1) всегда сходится. Действительно, подставляя в (21.1) 2 = 2о, видим, что все члены ряда, начиная со второго, обращаются в нуль. Рассмотрим сходимость ряда в точках луча, отличных от Zq. Возможны три случая.

• 1. Ряд (21.1) сходится во всех точках луча. Тогда он сходится и во всей плоскости. Действительно, так как ряд сходится в любой точке Z луча, сколь угодно далеко отстоящей от 2о, то по теореме Абеля он сходится и внутри окружности сколь угодно большого радиуса с центром в Zq (см. рис. 38). Поэтому ряд будет сходиться во всех точках плоскости.
• 2. Ряд (21.1) расходится во всех точках луча, отличных от 2о. В этом случае ряд расходится и во всех точках плоскости, кроме точки 2оДействительно, из расходимости ряда в любой точке 22 ф zq луча, сколь угодно близкой к 2о, следует расходимость ряда и вне окружности сколь угодно малого радиуса с центром в zq (см. рис. 38). Поэтому любая точка плоскости, кроме точки 2о, будет точкой расходимости ряда.
• 3. На луче имеются как точки сходимости, отличные от zq, так и точки расходимости. Из теоремы Абеля следует, что всякая точка сходимости находится ближе к 2о, чем всякая точка расходимости. Поэтому все точки луча разделятся на две группы следующим образом: на промежутке от zq до некоторой точки 2* расположатся точки сходимости, а после точки 2* (при движении по лучу от Zq) — точки расходимости. Сама точка 2* может являться как точкой сходимости, так и точкой расходимости. По теореме Абеля ряд (21.1) абсолютно сходится в каждой внутренней точке круга |z — zq < z* — 2о|, ограниченного окружностью с центром 2о, проходящей через точку 2*, и ряд (21.1) расходится в каждой внешней точке этого круга.

Круг z — Zq < |z* — Zo| называется кругом сходимости степенного ряда (21.1), а радиус этого круга радиусом, сходимости. На окружности z — zo| = |z^m — zo могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости.

Понятие круга и радиуса сходимости можно обобщить также и на случаи 1, 2, рассмотренные выше. Если ряд сходится при всех z, то полагают R = оо; тогда круг сходимости совпадает со всей (конечной) комплексной плоскостью. Если ряд сходится только в точке 2о, то полагают R = 0; тогда круг сходимости вырождается в точку zq.

Таким образом, множеством сходимости степенного ряда (21.1) всегда является внутренность круга с центром в точке Zo с возможным добавлением некоторых или всех точек на его границе. Этот круг может заполнять всю плоскость или вырождаться в точку Zq.

Во многих случаях круг и радиус сходимости можно найти, используя признак Даламбера или радикальный признак Коши (см. § 19). Применим вначале к ряду (21.1) признак Даламбера в предположении, что соответствующий предел существует:

Тогда |z — z₀/R = I. По признаку Даламбера при / 1 расходится. Отсюда следует, что при z — zo < R ряд сходится, а при z — zo > R расходится. Поэтому число /?, определенное в (21.2), является радиусом сходимости ряда.

Аналогичное рассуждение и применение радикального признака Коши даюг формулу Итак, радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам (21.2), (21.3) при условии, что фигурирующие в них пределы существуют. Но можно и не запоминать эти формулы, а применять указанные признаки непосредственно.

П р и м с р 21.2. Найти круг сходимости ряда.

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера:

абсолютно сходится во всей комплексной плоскости С; в этом случае радиус сходимости R = оо.

Пример 21.3. Найти круг сходимости ряда.

Р е ш с и и е. Опять воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, если z = 0, то / = 0 < 1, и ряд (21.5) сходится; если 2 ф 0, то / = оо > 1, и ряд (21.5) расходится. Следовательно, круг сходимости вырождается в единственную точку z — 0, а радиус сходимости R = 0.

Пример 21.4. Найти множество сходимости ряда.

Решение. По признаку Даламбера.

Значит, при г — 2| = / < 1 ряд (21.6) абсолютно сходится, а при z — 2| = / > 1 расходится. Поэтому кругом сходимости является круг z — 2| < 1 с центром го = 2 и радиусом R = 1.

Исследуем сходимость на его границе, т. е. на окружности z — 2| = = 1. В точках окружности имеем.

00 I

Ряд? —т сходится (см. (7, т. 2. С. 260]). Значит, во всех точках грани;

п=1 ⁷¹

цы круга сходимости ряд (21.6) также будет абсолютно сходящимся, и множеством его сходимости является замкнутый круг z — 2| ^ 1.

оо Задача. Покажите, что кругом сходимости ряда (^z ~~ 2)^п

Л=1.

также является круг z — 2| < 1, но при этом в каждой точке окружности z — 2| = 1 ряд будет расходящимся.

Примеры 21.2 21.4 показывают, что все три случая, разобранные выше (а именно R = оо, Я = 0и0</?< оо), могут иметь место.

Отметим основные свойства степенных рядов.

Свойство 21.5. Ряд (21.1) сходится абсолютно и равномерно в любом круге z — Zq < г < R, лежащем внутри круга сходимости.

Рис. 39 зать.

Доказательство. Если z — z$ < г < Я, то существует точка 2i, такая что

(рис. 39). Следовательно,.

k"(z-2о)^П| < |c"(ziZo)" |.

Так как точка zi лежит внутри кру;

оо га СХОДИМОСТИ, ТО ряд |c_n(2i — 2о)"|.

n=0.

сходится. По теореме 20.2 (признаку со Вейерштрасса) ряд ^c_n(z-2о)" аб;

п=0.

солютно и равномерно сходится в круге z — zo < г, что и требовалось доказать.

Свойство 21.6. Сумма S (z) ряда (21.1) является аналитической функцией внутри круга сходимости.

Доказательство. Возьмем произвольную точку z' внутри круга сходимости. Найдется такое число г, что |z' — zq < г < R. По свойству 21.5 ряд (21.1) равномерно сходится в круге |z — zo < г; каждый член c_n(z — z₀)ⁿ ряда является аналитической функцией в этом круге (и даже во всей комплексной плоскости С). По теореме 20.6 (Вейерштрасса) сумма S (z) будет аналитической функцией в круге |z — Zo < г и, в частности, в точке z'. Тем самым аналитичность функции S (z) в любой внутренней точке круга сходимости установлена.

Свойство 21.7. Степенной ряд

можно почленно интегрировать внутри круга сходимости, т. е.

где г' произвольная точка внутри круга сходимости ряда (21.7). Полученный при этом степенной ряд (21.8) имеет тот же круг сходимости. что и исходный ряд (21.7).

Доказательство. Как и при доказательстве свойства 21.6, выберем число г, такое что z' — Zq < г < Л. Ряд (21.7) равномерно сходится в круге z — zo < г, его члены являются непрерывными (и даже аналитическими) функциями в этом круге. Поэтому возможность почленного интегрирования и равенство (21.8) следуют из теоремы 20.4 и равенства (20.4); в качестве кривой Г в (20.4) можно выбрать любую кривую, идущую из zo в z' внутри круга z — Zo < г, например отрезок zq, z']. Так как степенной ряд (21.8) сходится в любой точке z', лежащей внутри круга сходимости ряда (21.7), то радиус сходимости R ряда (21.8) не может быть меньше радиуса сходимости Л ряда (21.7), т. е. R ^ Л.

Покажем, что на самом деле R = Л. Предположим противное, т. е. R > Л. Возьмем число Л', такое что Л < R* < Ль По свойству 21.5 ряд (21.8) равномерно сходится в круге z — Zq < R'. Так как этот ряд составлен из аналитических функций, то, согласно теореме 20.6 (Вейерштрасса), его можно почленно дифференциро;

оо вать в круге z — zq < Л'. Значит, ряд ^cn (z' — zo)ⁿ, полученный м=0.

почленным дифференцированием ряда (21.8), будет сходиться в круге z — zo < Л'. Поскольку Л < Л', то сходимость будет и в некоторых точках z', лежащих вне круга z — zq < Л. Но это противоречит тому, что z — zq < Л — круг сходимости ряда (21.7). Итак, R, = Л, что и требовалось доказать.

Свойство 21.8. Степенной ряд (21.7) можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости любое число раз:

Получемные при дифференцировании ряды (21.0)—(21.11) имеют тот. же круг сходимости, что и исходный ряд (21.7).

Доказательство. Пусть z' — произвольная точка круга сходимости |z — zo| < Л. Опять возьмем число г, такое что z' - zo < г < < Л. Поскольку ряд (21.7) составлен из аналитических функций и равномерно сходится в круге z — zq < г, то по теореме Вейерштрасса его можно почленно дифференцировать в этом круге (а следовательно, и в точке z') любое число раз. Таким образом, ряды (21.9) (21.11) будут сходиться в любой точке круга сходимости ряда (21.7) к соответствующим производным функции S (2). Значит, радиусы сходимости рядов (21.9)—(21 -11) не меньше, чем R.

Докажем вначале, что радиус сходимости Я ряда (21.9) равен R. Пусть это неверно, т. е. R > R. Проинтегрировав этот ряд внутри круга z — zq < R, мы получим исходный ряд (21.7) (кроме первого члена со, отбрасывание которого не влияет на сходимость ряда). По свойству 21.7 проин1'егрированный ряд имеет тот же круг сходимости z — zo < Ri- Значит, ряд (21.7) имеет радиус сходимости 7? i > /?, что противоречит условию. Итак, Я = Я, т. е. при однократном дифференцировании радиус и круг сходимости сохраняются. Но ряд (21.10) получается дифференцированием ряда (21.9). Значит, его радиус сходи мости также равен R и т. д.

Замечали е. Хотя круг и радиус сходимости степенного ряда остаются неизменными при почленном интегрировании и дифференцировании ряда, сходимость (или расходимость) в граничных точках круга при этих операциях может не сохраняться.

Свойства 21.7 и 21.8 позволяют иногда найти сумму ряда.

Пример 21.9. Найти сумму S (z) ряда.

Решение. Воспользуемся равенством (см. пример 20.1). Дифференцируя этот ряд почленно, получим.

Осталось домножить левую и правую части равенства на z:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Задача. Применяя почленное интегрирование, найдите сумму ряда и укажите круг сходимости этого ряда.