Распределение поверхности. 
Методы оптимизации в необратимой термодинамике

В том случае, когда заданную общую поверхность нужно распределить по времени или по длине аппарата, поток записывают в форме.

коэффициент переноса а (1) в этом выражении удовлетворяет ограничению.

функция а(0 подлежит оптимальному выбору. Условие стационарности по а (и_г) функции Лагранжа.

где R определяется выражением (7.12), приводит с учетом (7.19) к равенству.

которое нужно добавить к условиям (7.14), (7.15) вместе с ограничением (7.20) и условием неотрицательности а (п_г) > 0.

Векторный случай

Условия оптимальности для задачи (7.2)—(7.4) могут быть получены с использованием принципа максимума Понтрягина. Функция Гамильтона для этой задачи имеет вид.

Сопряженные переменные j/_;— удовлетворяют уравнениям.

а переменные щ определяются по условию максимума Н:

В невырожденном случае j/₀ = -1.

Аналитическое решение уравнений (7.22), (7.23) совместно с уравнениями (7.3) и условиями (7.4) возможно лишь в редких случаях, поэтому представляют интерес способы получения более простых соотношений, определяющих процесс минимальной диссипации с учетом особенностей кинетических зависимостей, а также способы получения оценок a_min снизу и сверху.

Использование уравнения Эйлера.

Спиркл и Райс^[1] учитывают при выводе условий минимальной диссипации связь между интенсивными и экстенсивными переменными первой подсистемы и тот факт, что поток равен скорости изменения экстенсивных переменных. Задача о минимальной диссипации в этом случае примет форму.

при условиях.

где и — вектор интенсивных переменных управляющей подсистемы.

Уравнения (7.25) с учетом монотоннности функции J = Y по и можно разрешить относительно и:

где/— обратная кинетическая функция. После подстановки выражений (7.26) в интеграл (7.24) задача принимает форму классической задачи вариационного исчисления и условие оптимальности для нее может быть записано в виде уравнения Эйлера.

После преобразования этого уравнения получают условия минимальной диссипации в форме.

dYi.

гдеЗУ,=1Г В процессе преобразований уравнения Эйлера (7.27) Спиркл и Райс, не оговаривая этого, полагают, что для любых i и j

Можно показать, что это равенство, в свою очередь, справедливо лишь при выполнении условия.

Таким образом, прежде чем использовать условия (7.28), нужно проверить, выполнены ли требования (7.29).

Потоки — функции движущих сил. Условия оптимальности для векторного термодинамического процесса упрощаются, когда между вектором потоков / в (7.24) и вектором движущих сил.

есть взаимно однозначная зависимость.

Задача (7.24), (7.25) примет в этом случае вид.

при условиях.

Задача (7.30), (7.31) представляет собой усредненную задачу нелинейного программирования о вычислении значения выпуклой оболочки функции (п + 1) переменных.

в точке J = (Y-Y₀)/т. Решение этой задачи может быть найдено по условию (см. ч. 1).

которое определяет базовые значения Jk вектора потоков. В этих точках, количество которых не более (п + 2), достигается одно и то же минимальное по J и максимальное по X значение L.

На оптимальном решении задачи (7.30), (7.31) вектор движущих сил переключается в произвольном порядке между значениями X (Jk), принимая каждое из них в течение времени укх. Доли интервала ук находят из условий.

Так как потоки J_t принимают базовые значения Jf, то в оптимальном процессе функции 17 (О кусочно-линейные. Построив по ним функции Ui_i(t) = n_ll(F*(t)), можно найти оптимальные управления

В случае, когда функция a (J) выпукла вниз (это можно проверить по условиям Сильвестра), она совпадает со своей выпуклой оболочкой. Тогда.

Подставив эти функции в u_u(Y), найдем изменение интенсивных переменных в процессе минимальной диссипации и по формулам (7.35) щ (0, отличающиеся от u{(t) на постоянные величины X* (Д).

Линейная зависимость потоков от движущих сил. При малом отклонении от термодинамического равновесия, когда потоки J и силыХ связаны соотношениями Онсагера.

в которых матрица феноменологических коэффициентов А положительно определенная, выражение, стоящее под знаком интеграла в (7.2), — положительно определенная квадратичная форма от термодинамических сил. В этом случае решение задачи кардинально упрощается, а именно: на первом ее этапе можно отбросить условия (7.3) и перейти к задаче о минимуме среднего значения квадратичной формы.

при условиях.

Переменными в этой усредненной задаче является вектор движущих силХ. Так как задача (7.39), (7.40) выпуклая, то ее решение соответствует постоянству искомых переменных, а значит, определение X* сводится к решению задачи квадратичного программирования, получающейся из (7.39), (7.40) при отбрасывании усреднения.

На втором этапе находят значения вектора и2 е V, удовлетворяющие условиям.

и уравнениям (7.3). Для этого можно рассматривать условия (7.41) как уравнения, определяющие зависимость и^щ). После подстановки этой зависимости в (7.3) и решения уравнений получим и{(1), а значит, и и2 (^1 (0)= Щ. (0* Если найденное решение удовлетворяет ограничениям, то задача (7.39), (7.40) эквивалентна исходной и процесс минимальной диссипации найден. Если u2(l) то значение а* задачи (7.39), (7.40) дает оценку снизу для минимального производства энтропии в необратимом процессе.

Оценки минимальной диссипации. Оценку снизу для amin можно получить, если отбросить условия (7.3) и считать п (/) = (пх (0, п2(0) управлением в задаче (7.2), (7.4). Точность оценки увеличится, если предварительно ограничить множество возможных значений иг (1) с учетом заданных граничных условий и вида функций ср-.

Задача (7.2), (7.4) — усредненная задача нелинейного программирования. Ее оптимальное решение и = (и{, и₂) либо постоянно, либо кусочно-постоянно, причем количество базовых значений u*^v не превышает (к + 1). Если задача.

выпукла, то решение усредненной задачи постоянно по I и определяется условием.

Когда в минимаксной задаче (7.43) минимум по и достигается в нескольких точках (не более к + 1), то соответствующие значения u*^v являются базовыми и функция и*(1) переключается между ними, принимая каждое из них в течении доли УФ от интервала [0, L]. Значения y_v> 0 находятся при подстановке решения в условия (7.4), которые примут форму.

Последовательность, в которой и*(1) принимает базовые значения, не сказывается на величине оценки, а снизу, но может быть выбрана так, чтобы решение щ (1), найденное при подстановке и*(1, у) в уравнение (7.3), оказалось возможно ближе к составляющей щ (1,у) переключательного решения, т. е. к реализуемому решению.

Оценку сверху для, а дает любое допустимое решение задачи, например решение, при котором потоки постоянны и равны J. Из этого условия можно найти и₂(и₁) и после подстановки этой зависимости в выражение (7.3) найти изменение u^l), соответствующее ему изменение и₂(1) и величину а, которая заведомо превосходит а". Разность между нижней и верхней оценками характеризует их точность.

Потоки не связаны друг с другом. Решение многомерной задачи кардинально упрощается в случае, когда взаимодействия независимы, т. е. каждый из потоков зависит только от своих переменных:

то же относится и к термодинамическим силам Xj, причем.

В этом случае задача о минимуме диссипации распадается на к одномерных задач вида.

при условиях (7.45) и.

Аналогично одномерному случаю для выбора каждой из переменных u₂j можно записать требование.

или, при отсутствии ограничений на и₂р

Величины Xj определяют из условий.

Может оказаться, что значения ц_1;— заданы не для всех;, а только для j = 1, …, к_ь к_г < к. Тогда для определения Xj совместно с и у при j = к_г + + 1, …, к имеем дополнительно условия равенства нулю выражения, стоящего под знаком argmax в (7.48), причем в функциях ф_;-, gj, fj вместо и у стоит искомое н_1;, а вместо н_2; стоит U2j (X,_;-, iZ_1;). Эти требования следуют из принципа максимума Понтрягина.

Выбор значения L. Введение множителя 1/L в критерий (7.2) и условия (7.4) при фиксированном значении L никак не влияет на оптимальное решение, однако оно делает задачу осмысленной и при стремлении L к бесконечности. Кроме того, само значение L может подлежать оптимальному выбору.

При таком выборе функционал Лагранжа для соответствующей экстремальной задачи должен быть стационарен по L.

Например, в задаче (7.9)—(7.11) функционал Лагранжа.

где функция R определяется равенством (7.12). Условие стационарности R по L приводит к уравнению.

В общей задаче (7.2)—(7.4) для выбора L к условиям (7.22), (7.23) следует добавить условия.

вытекающие из требования стационарности по L интеграла от функции Н, в которую добавлены множители 1/L перед первым и третьим слагаемыми под знаком суммы.

• [1] Spirkl W., Ries Н. Optimal finite-fime endoreversible processes // Physical rev. E. 1995.Vol. 52. № 4. P. 3455—3459.