Численные методы алгебры

Методы, приведенные в главе, в значительной степени объединяет система понятий и идентичность подходов к решению задач.

Сначала приводятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В линейной алгебре эту задачу называют первой основной задачей. К ней примыкают задачи вычисления определителей и элементов обратной матрицы, которые иногда называют второй и третьей основными задачами линейной алгебры.

Далее излагаются численные методы уточнения корней нелинейных уравнений. В общем случае такие уравнения не имеют аналитических формул для своих корней или эти формулы слишком громоздки и неудобны для практического использования. В частности, в начале XIX века было доказано, что нелинейные уравнения выше четвертой степени неразрешимы в радикалах даже при использовании радикалов произвольной степени. Используемые численные методы уточнения корней нелинейных уравнений можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся методы, которые назовем универсальными в том смысле, что в принципе они пригодны для отыскания корней уравнений любого вида. Эти методы носят итерационный характер. Подробно рассмотрены метод дихотомии (деления пополам), метод простой итерации, метод Ньютона и две его модификации: метод секущих и метод Ньютона с постоянным значением производной. Кратко дан метод парабол.

Для системы нелинейных уравнений приведено обобщение методов простой итерации, метода итераций Зейделя и метода Ньютона в приложении к одному нелинейному уравнению.

В последней теме главы освещается задача нахождения собственных значений и собственных векторов. Рассмотрены два метода отыскания всех собственных значений: итерационный метод вращения и метод интерполяции. Дополнительные сведения о методах решения полной проблемы собственных значений содержатся в разделе, посвященном методу Данилевского.