Сглаживание временных рядов

Не существует «автоматического» способа обнаружения тренда в временном ряде. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания — скользящее среднее.

Метод скользящего среднего.

В техническом анализе широко используется метод скользящей средней, с целью выявления промежуточных и долгосрочных трендов. Метод крайне субъективен и результаты сглаживания очень подвержены влиянию длины периода сглаживания. С одной стороны при небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту сильно зашумленного процесса, при больших же периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.

Скользящее среднее порядка L — это временной ряд, состоящий из средних арифметических L соседних значений Y_i, по всем возможным значениям времени. В качестве L выбирается нечетное число, обычно 3, 5 или 7, и эти схемы называют трехточечной, пятиточечной и т. д. Для примера рассмотрим трехточечную схему и обобщим ее на другие случаи.

Среднее рассчитывается по трем значениям Y_i, одно из которых относится к прошлому периоду, одно — к искомому и одно — к будущему. Так как для i = 1 не существует прошлого значения, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. Для i = 2 сглаженное значение будет средним арифметическим Y_i при i = 1, 2, 3; для i = 3 среднее арифметическое берется для 2-го, 3-го и 4-го значений Y_i; в последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому. В общем случае это можно представить как.

.

где MA_i — значение скользящего среднего по L-точечной схеме в i-ом элементе ряда.

Как следует из формулы, на концах исходного интервала будет теряться по (L-1)/2 исходных точек; так для 5-точечного сглаживания будут потеряны два первых и два последних значения.

Метод экспоненциального сглаживания.

Метод экспоненциального сглаживания также дает возможность оценить степень воздействия трендовой и/или циклической компоненты на отклик системы, но в отличие от метода скользящих средних, еще и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

Если бы на изучаемом интервале времени коэффициенты уравнения регрессии, которое описывает тренд, оставались бы неизменными, то для построения прогноза достаточно было бы использовать метод наименьших квадратов. Однако в течение исследуемого периода коэффициенты могут меняться. Естественно, что в таких случаях более поздние наблюдения несут большую информационную ценность по сравнению с более ранними наблюдениями, а следовательно, им нужно присвоить наибольший вес. Именно таким принципам и отвечает метод экспоненциального сглаживания, который может быть использован для краткосрочного прогнозирования объема продаж.

Название метода происходит из того факта, что на самом деле при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду; а из этого следует, что сглаженное значение в любой точке ряда является некоторой функцией всех предшествующих наблюдаемых значений. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения — предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему — с несколько меньшим, самое «старое» наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом. Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы, но, реализованный программно, позволяет легко получить необходимые результаты.

Алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда i основан на трех величинах: наблюдаемом значении Y_i в данной точке ряда i, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда F_i-1 и некотором заранее заданном коэффициенте сглаживания, постоянным по всему ряду. Понятно, что в первой точке ряда нет сглаженного значения для предшествующей точки (нет самой такой точки), и сглаженным значением F₁ считается сама наблюдаемая в этой точке величина показателя Y₁. Для всех следующих точек действует простое правило вычислений:

F_i = Y_i + (1 —) F_i-1

Это легко реализуется в электронных таблицах. В первой строке таблицы с данными, относящимися к первой точке ряда, достаточно продублировать значение Y_i, во вторую строку внести указанное выше выражение, сославшись в расчетной формуле на наблюдаемое значение из этой же строки таблицы и сглаженное значение из предшествующей строки. Далее формула просто копируется на все остальные строки с данными временного ряда и всю заботу о выполнении вычислений возьмет на себя программа.

Некоторой проблемой является выбор коэффициента сглаживания, который в значительной степени влияет на результаты. К сожалению объективного критерия при его выборе не существует. При равной степени сглаживания с использованием метода экспоненциального сглаживания и метода скользящего среднего коэффициент связан с интервалом L простым соотношением = 2/(L + 1); таким образом сглаживание по 5-точечной схеме эквивалентно по своему воздействию на исходные данные экспоненциальному сглаживанию с коэффициентом = 0.33. Хотя в принципе может принимать любые значения из диапазона 0 < < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0.2 до 0.5.

При высоких значениях в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика и наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы. Результаты экспоненциального сглаживания могут быть использованы для краткосрочных прогнозов на один шаг вперед по временной шкале.

Схема расчета для прогноза по методу экспоненциального сглаживания без запаздывания следующая:

Новый прогноз = Прогноз прошлого периода + a (Текущие значения прошлого периода — Прогноз прошлого периода) где - константа сглаживания (0 =1).

Если высокая — больший вес придается текущим значениям;

Если низкая — больший вес придается прошлым значениям.