Ленгмюровские волны в плазме

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ РЕФЕРАТ По физике волновых процессов Тема № 72

Ленгмюровские волны в плазме Студента Горелика Ивана Минск 2012

Содержание Ленгмюровские колебания и волны в плазме. Плазмоны Ионные ленгмюровские волны Список используемой литературы

Ленгмюровские колебания и волны в плазме. Плазмоны Рассмотрим закон дисперсии высокочастотных продольных плазменных волн с частотой

(1)

где — заряд электрона, m — масса электрона, — концентрация электронов. Эти волны известны как ленгмюровские волны и представляют собой важнейший тип возмущений, способных существовать и распространяться в плазме.

Закон дисперсии продольных волн определяет уравнение

в которое следует подставить продольную компоненту диэлектрической проницаемости. Если плазму считать холодной, то диэлектрическую проницаемость следует определять по формуле

(2),

и мы приходим к уравнению

Оно имеет два решения, отличающиеся знаком. Положительный корень равен

(3)

Как мы видим, в рассматриваемом случае частота волны совпадает с ленгмюровской частотой и не зависит от величины волнового числа. Фазовая скорость таких волн

(4)

уменьшается с увеличением волнового числа, а групповая скорость оказывается равной нулю:

(5)

Таким образом, в холодной плазме ленгмюровские волны не могут переносить энергию: фактически это обычные колебания плотности заряда, возникающие вследствие нарушения квазинейтральности плазмы. Если же мы учтем теперь тепловое движение частиц плазмы, то ситуация изменится кардинально. Диэлектрическую проницаемость определяет теперь формула

(6)

и дисперсионное уравнение для продольных волн становится таким:

или

(7)

Это уравнение несложно решить в общем виде. Но в интересующей нас сейчас высокочастотной области следует учесть, что ионы плазмы можно считать неподвижными, а потому их вклад в диэлектрическую проницаемость будет пренебрежимо малым. Формально это отвечает пределу, и уравнение (7) упрощается:

Теперь его уже не сложно решить, и мы, вновь выбирая положительный корень, получаем:

(8)

Это соотношение и определяет закон дисперсии ленгмюровской волны в плазме с конечной температурой.

Любопытно отметить, что это соотношение по виду оказывается вполне аналогичным известной формуле, определяющей связь энергии и импульса релятивистской частицы:

По этой причине о законе дисперсии (7) говорят как о «частице-подобном», а ленгмюровские волны в этом плане являются «квазичастицами», которые принято называть плазмонами. [3]

Полезно отметить также, что закон дисперсии (7) можно записать в виде:

(9)

Второе слагаемое под корнем будет больше или порядка единицы, когда длина волны меньше дебаевского радиуса. В этом случае ленгмюровская волна сильно поглощается за счет механизма бесстолкновительного поглощения Ландау, так как оказывается резонансной по отношению к электронам плазмы, По этой причине ленгмюровские волны могут существовать в плазме без существенного поглощения лишь в обратном пределе, когда их длина волны меньше дебаевского радиуса. В этом случае в (9) второе слагаемое под корнем можно считать малым и разложить по этой малости:

Аналогия с энергией частицы опять остается в силе, но теперь в нерелятивистском пределе, когда энергия связана с импульсом следующим образом:

В области частот ленгмюровских волн гидродинамическое описание, следствием которого фактически является закон (9), будет адекватным при выборе

Подставив это значение в (9), получим окончательно

(10)

ленгмюровское колебание волна уравнение Именно об этом соотношении и говорят обычно как о законе дисперсии ленгмюровских волн в плазме. Строго говоря, он справедлив лишь при выполнении сильного неравенства. Однако качественно закон дисперсии (10) остается в силе и при выполнении более мягкого условия, когда длина волны составляет несколько слагаемое в скобках в формуле (10) принято называть тепловой поправкой. Учет этой поправки приводит к тому, что групповая скорость ленгмюровской волны, в отличие от случая холодной плазмы, становится ненулевой (см. рис. 1.3):

(11)

фазовая же скорость приближенно определяется формулой

(12)

При учете теплового движения частиц ленгмюровские волны получают возможность распространяться в плазме, перенося энергию. 2]

Ионные ленгмюровские волны Возврвщаемся вновь к дисперсионному уравнению (7). Для рассмотренных выше ленгмюровских волн групповая и фазовая скорости удовлетворяют неравенству Теперь рассмотрим возможность распространения в плазме волн, фазовая скорость которых значительно меньше тепловой скорости электронов:

Если это условие выполнено, то в уравнении (7) в знаменателе второго слагаемого можно опустить и тогда это уравнение приводится к виду:

Теперь уже не сложно найти интересующее нас решение:

Учтем теперь, что по определению соответствующих величин имеет место соотношение:

Тогда полученный нами результат можно записать в виде

(13)

Для коротких волн, когда длина волны меньше электронного дебаевского радиуса, знаменатель во втором слагаемом примерно равен единице, и мы получаем:

(14)

Частота этих волн оказывается порядка ионной ленгмюровской частоты. По аналогии с (8), эти волны называют ионными ленгмюровскими волнами. Как правило, если температура ионов не мала, они сильно затухают в плазме, так как оказываются резонансными по отношению к ионам. 1,2]

Мы рассмотрели самые простые дисперсионные уравнения для ленгмюровских волн в плазме. Для удобства, наиболее важные из них сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

1. Кингсеп А. С.

Введение

в нелинейную физику плазмы. М: Изд-во. МФТИ. 1996.

2. Галеев А. А., Сагдеев Р. З. Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат. 1973.

3. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М: Наука. 1976.