Применение элементов линейной алгебры в экономике

Применение элементов линейной алгебры в экономике В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Эти математические методы применяются для решения разнообразных задач, как на малых предприятиях, так и на крупных. Современная экономика пользуется разработанными методами Л. В. Канторовича, В. В. Леонтьева, Е. Е. Слуцкого.

Среди основных методов решения различных экономических задач является использование элементов алгебры матриц. Это особенно актуально при разработке и использовании баз данных, где почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. Решение многих экономических задач приводит к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики — матричная алгебра — имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности.

Таким образом, применение элементов линейной алгебры значительно упрощает способы решения многих задач экономики.

Например, удобно записывать некоторые экономические зависимости с помощью матриц (таблица 1).

Таблица 1 — Распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики, (усл. ед.).

В виде матрицы данную таблицу и показатели можно записать в более компактной форме:

A=, (1).

Из полученной матрицы видно, что матричный элемент =6,7 показывает количество употребляемой промышленности электроэнергии, а элемент сколько трудовых ресурсов потребляется в сельском хозяйстве.

Кроме этого, существуют примеры для решения которых необходимо составить систему линейных уравнений.

Например, фабрика конфет специализируется на выпуске трех видов сладкого: шоколадки, вафли и конфеты, при этом используется сырье трех типов: ,. В таблице 2 представлены нормы расхода каждого из них на одну пачку конфет, объем расхода сырья на один день заданы:

Таблица 2 — Нормы расхода сырья предприятия, усл. ед.

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида сладкого.

Для этого, пусть, , — ежедневный объем выпуска шоколадок, вафель и конфет соответственно. Составим систему уравнений:

(9).

Отсюда, = 200, =300, =200.

В макроэкономике возникает вопрос, связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n-отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Целью балансового анализа является ответить на этот вопрос. При этом с одной стороны каждая отрасль выступает как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Допустим, что требуется рассмотреть n-отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассматривая процесс производства за некоторый период времени (например, год), необходимо ввести следующие обозначения:

— общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i=1,2,…, n.);

— объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i, j=1,2,…, n);

— объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n-отраслями и конечного продукта, то, i = (1,2,…, n).

Эти уравнения (n-штук) называются соотношениями баланса.

Рассмотрим стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения имеют стоимостное выражение. Также введем коэффициенты прямых затрат:, (i, j = 1,2,., n), показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы стоимости j-ой отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т. е., (i, j = 1,2,., n), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса принимают вид:, (i = 1,2,…, n).

Обозначим: математический модель валовый выпуск.

X=; A=; Y=; (10).

где X — вектор валового выпуска;

A — матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y — вектор конечного продукта.

Тогда соотношения баланса можно записать в виде: X = AX+Y. Отыскание такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y и есть основная задача межотраслевого баланса.

Перепишем матричное уравнение в виде: (E — A) X = Y. Если матрица (E — A) невырожденная, т. е. ее определитель не равен нулю, то X=(E — A)^-1Y.

Матрица S=(E — A)^-1 называется матрицей полных затрат. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S=, будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

Y1=, Y2=, …, Yn=.(11).

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:

Y₁=, Y₂=, …, Y_n=.(12).

Следовательно, каждый элемент матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях и. Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E — A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной. Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

В таблице 3 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период:

Таблица 3 — Данные об исполнении баланса за отчетный период, (усл. ден. ед.).

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Итак, перейдя к решению: = 100, = 150, = 7, = 21, = 12, = 15, = 72, = 123. Найдем коэффициенты прямых затрат по формуле:

. (13).

= 0.7, = 0.14, = 0.12, = 0.1.

Матрица прямых затрат выглядит следующим образом:

.(14).

Кроме этого, имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности.

.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле:

X = (E — A)^-1Y, ().

Запишем матрицу полных затрат: S = (E — A)^-1:

E — A =.

Так как, = 0.8202, то.

S = .

По условию вектор конечного продукта: Y = .

Тогда по формуле X = (E — A)^-1Y получаем вектор валового выпуска:

X =.

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной — до 160,5 усл. ед.

Таким образом, на основе алгебры матриц и аппарате матричного анализа американский экономист В. В. Леонтьев создал математическую модель, которая решает проблему баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства.

Помимо этого, было рассмотрено применение элементов линейной алгебры для решения экономических задач и подсчета какого-то элемента, значительно упрощающие вычисления.