Лекция 9. Примеры распределений непрерывной случайной величины

1. Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [a, b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке:

f (x) = (9).

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

.

Рассмотренное в Примере 13 распределение является равномерным при a = 0.

и b = 1.

2. Показательное (экспоненциальное) распределение:

Случайная величина называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром >0, если она непрерывного типа и ее плотность распределения задается формулой.

f (x) = (10).

График функции приведен на Рис. 11.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

M () = , D ()=.

3. Закон нормального распределения.

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами а и >0, если плотность распределения вероятностей имеет вид.

f (x) = (11).

Для того, чтобы построить график этой функции, проведем ее исследование. Вычислим производную.

.

При x < a > 0, следовательно на интервале функция возрастает, а при x >a < 0, — функция убывает. В точке x = a — функция имеет максимум.

График функции приведен на Рис. 12.

Важное значение в прикладных задачах имеет частный случай плотности нормального распределения при a = 0 и =1.

. (12).

Функция (12) — четная, т. е. (-x) = (x).

Для значений этой функции имеются таблицы (Приложение 1).

Рис. 12.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

;;.

При вычислении интегралов использованы свойства:

1) = 0, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах;

2) =1, как интеграл от плотности нормального распределения с параметрами a = 0 и = 1 (свойство 2 функции плотности распределения).

Аналогично можно показать, что D () = ². Параметры a и совпадают с основными характеристиками распределения. В дальнейшем, если плотность распределения случайной величины имеет вид (11), то для краткости будем записывать ~ N ().

Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле (13).

(13).

где — функция Лапласа.

(14).

функция нормального распределения N (0,1),.

для этой функции имеются таблицы (Приложение 2). Отметим, что.

Ф (-x) = 1 — Ф (x) (15).

Пример 14. Коробки с шоколадом упаковывают автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г. (вес коробок распределен нормально)?

Из условия задачи параметр, а = 1,06, параметрнеизвестен.

Рассмотрим случайную величину — масса коробок. Требуется определить.

p (> 0,94), т. е. p (> 0,94) = p (0,94 < < + ?).

Из таблицы Приложения 2 определим, по формуле (14) имеем.

= 1-, тогда.

p (0,94 < < + ?) 1−1+= .

Параметр у найдем из условия р (< 1) = 0,5.

т.е. 1- откуда получим) = 0,95.

По таблице Приложения 3 определим = 1,645, тогда из равенства.

найдем значение. Окончательно получим.

.

4. Распределение Парето Распределение Парето используется при изучении распределения доходов, превышающих некоторый пороговый уровень x₀.

f (x) = x₀ < x < ?, б > 0, х₀ > 0 — параметры распределения.,.

M (о)=, D (о)=.