О дифференцируемости и об интегрировании функций

В курсе высшей математики обычно доказывается непрерывность дифференцируемых функций. В этом приложении в определении дифференцируемости непрерывных отображений /: R¹ —"/?" использовано понятие касательного луча и получен критерий корректности замены переменных в определенном интеграле.

О дифференцируемости функций

В [82] из множества F = {/: G —> Е, / еС°(непрерывных функций выделяется класс А касательных в точке М еС. Затем во множестве А касательных в точке М eG функций определяются дифференцируемые функции как касательные к линейным в точке М eG отображениям. В [47] дифференцируемость отображения /: R¹' —>R" определяется равенством

где А является матрицей линейного отображения и а-бесконечно малая при Дх —э 0 функция-матрица. В этом приложении описана попытка объединения этих методических приемов. Пусть ?2 -линейно-выпуклое, и следовательно, непрерывное подмножество в R^k и Q = /(?2) с/?" - образ непрерывного отображения / Всякий луч МР, {М, Р} сАВ с?2, назовем касательным в точке М лучом к отрезку АВ. Множество T_MQ всех касательных лучей МР, РеС1М, назовем касательным пространством к ?1 в точке М. Если L= /(Л5) с ?2 — кривая в Пи Л? = /(Л/), Р = f (P), то луч МР назовем секущим лучом кривой L в точке М. Предельный при Р —> М луч Т^р, если он существует, назовем касательным в точке М лучом кривой L. Если касательные в точке М лучи Т~_р и Т~~_} к кривой L образуют прямую /, то эту прямую назовем касательной прямой к кривой L в точке М. Множество 7/?2 всех касательных в точке М еП прямых / назовем касательным пространством к ?2 в точкеМ.

Определение В.1. Непрерывное отображение / /(?2) = ?2, назовем дифференцируемым в точке М е ?2, если касательные в точке М лучи Тдр иТщ к множеству ?2 соста&чяют прямую I = Т-q всякий раз, когда лучи МР и MQ (Р, О g ПМ) составляют прямую в Т_м ?2. Дифференцируемая в каждой точке МеП функция /называется дифференцируемой на ?2.

Очевидно, что дифференцируемое отображение /: ?2 —>?2 определяет линейную функцию

когда f*(а) = а eT_pii?, а = PQ, PQczAB. Значение /*(Дх) линейной функции /* на векторе Дх называют дифференциалом функции / Строение функционала /* определяет следующее утверждение (ср. с равенством (Г. 1)).

Теорема В.1. Приращение Д/ значения /(а) дифференцируемой функции f: ?2 —>?2 в точке х можно представить в следующей форме: Д/ = J ? Дх + а • Дх, где J есть матрица линейного оператора /, а бесконечно малая при Ах —> 0 функция, а зависит от Ах, х и от f

При доказательстве теоремы используется выделение у вектора /(х + Дх) линейного относительно Дх слагаемого, а также непрерывность и дифференцируемость функции/ Очевидно, что линейная функция дифференцируема. Матрицу ./ дифференцируемого отображения / называют матрицей-производной этого отображения. При к = п определитель матрицы J называют якобианом отображения/.

Образ дифференцируемого отображения назовем дифференцируемым многообразием. Для дифференцируемости функции /: О —>0 многообразие Q должно быть по необходимости дифференцируемым. Ранг г матрицы J, вычисленный в точке Мей, дифференцируемого отображения / определяет размерность касательного пространства 7/0 в точке М многообразия О, число г назовем размерностью многообразия О в точке М .

Если к = п = 1, т. е. /:/?->/?, то угол = (Т^р, Тд^) между касательными лучами Tjgp и Т^~ определяет степень гладкости кривой.

L = f (AB) в точке М : точка М кривой L = f (AB) называется точкой возврата, точкой излома или точкой гладкости кривой L, если ср = О, О < <�р< я или <�р = я, соответственно. Если один из касательных лучей 7/г (

Т^ф) не существует, то при PQcAB точка М кривой L = f (AB) называется точкой правосторонней (левосторонней) гладкости кривой L. И когда оба касательных в точке М луча не определены, то кривую L = f (AB) назовем абсолютно негладкой в точке М .