Развитие математических знаний в эпоху классобразования и цивилизаций Древнего Востока

В рассматриваемую эпоху математические знания развивались в следующих основных направлениях.

Во-первых, расширяются пределы считаемых предметов, появляются словесные обозначения для чисел свыше 100 единиц — сначала до 1000, а затем вплоть до 10 000.

Во-вторых, закладываются предпосылки позиционной системы счисления. Они состояли в совершенствовании умения считать не единицами, а сразу некоторым набором единиц (4, 5, чаще всего 10). Когда нужно было пересчитать большое количество одинаковых предметов (например, стадо скота), применялся так называемый групповой счет. Такой счет вело несколько человек: один вел счет единицами, второй — десятками, третий — сотнями [4]. Развитие хозяйства, торговли требовало не просто умения считать, но и умения сохранять на длительное время или передавать на расстояния результаты счета (очень часто — большие числа). Для этого применялись известные еще с давних времен бирки, шнуры, нарезки или узлы, на которых уже обозначаются не только единицы, но и группы единиц (по 4, 5,10,20 единиц). По сути, формировался прообраз различных форм счисления.

В-третьих, формируются простейшие геометрические абстракции — прямой линии, угла, объема и др. Развитие земледелия, отношений земельной собственности требуют умения измерять расстояния, площади земельных участков (отсюда и происхождение слова «геометрия» — от древнегреческого «землемерие»). Развитие строительного дела, гончарного производства, распределение урожая зерновых и проч. требовало умения определять объемы тел. В строительстве было необходимо уметь проводить прямые горизонтальные и вертикальные линии, строить прямые углы и т. д. Натянутая веревка служила прообразом представления о геометрической прямой линии. Одним из важнейших свидетельств освоения человеком геометрических абстракций является зафиксированный археологами бурный всплеск использования геометрических орнаментов на сосудах, ткани, одежде. Геометрическая отвлеченность начинает превалировать в художественной изобразительной деятельности, в передаче изображений животных человека.

На Древнем Востоке математика получила особое развитие в Месопотамии. Математика развивалась как средство решения повседневных практических задач, возникавших в царских храмовых хозяйствах (землемерие, вычисление объемов строительных и земляных работ, распределение продуктов между большим числом людей и др.). Найдено около сотни клинописных математических текстов, которые относятся к эпохе Древневавилонского царства (1894−1595 гг. до н.э.). Их расшифровка (Варден ван дер Б. Л. И др.) показала, что в то время уже были освоены операции умножения, определения обратных величин, квадратов и кубов чисел, существовали таблицы с типичными задачами на вычисление, которые заучивали наизусть[5,6]. Математики Древнего Вавилона уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). Система счисления была шестидесятеричной. Жителями Древнего Вавилона были известны приближенные значения отношения диагонали квадрата к его стороне (они считали равным приблизительно 1,24; число р — приблизительно равным 3,125).

Вавилонская математика поднялась до алгебраического уровня, оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и проч.), а числом вообще, числом как абстракцией. При этом числа рассматривались как некий символ иной, высшей реальности (наряду с множеством других символов такой высшей реальности). Но у древних вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегреческой математике представления о числах как о некоторой абстрактной реальности, находящейся в особой связи с материальным миром. Поэтому у них не вызывали мировоззренческих проблем вопросы о природе несоизмеримых отношений и иррациональных чисел.

На современном математическом языке те типовые задачи, которые могли решать вавилоняне, выглядят следующим образом:

Алгебра и арифметика:

Уравнение с одним неизвестным.

AX = B; X² = A; X² + AX= B; X² — AX = B; X³ = A; X² (X + 1) = A;

Системы уравнений с двумя неизвестными.

XY = В, X + Y = A;

XY = В, X — Y = A;

X² + Y² = В, X — Y = A;

X² + Y² = В, X + Y = A;

Им были известны следующие формулы:

• (A + B)² = A² + 2AВ + B²
• (A + B)(A — B) = A² — B²
• 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2ⁿ + (2ⁿ — 1)
• 1² + 2² + 3² + … +N² = (+ … + N)

и суммирование геометрических прогрессий.

Геометрия:

пропорциональность для параллельных прямых;

теорема Пифагора;

площадь треугольника и трапеции;

площадь круга? 3R²;

длина окружности? 6R;

объем призмы и цилиндра;

объем усеченного конуса они считали по неправильной формуле:

1?2 (3R² + 3r²),.

на самом деле он равен.

1?3(R² — r²).

Объем усеченной пирамиды с высотой Н, квадратным верхним (В) и нижним (А) основаниями они определяли по неправильной формуле:

1?2(А² + В²)Н;

на самом деле он равен.

1?3(А² + АВ + В²)Н.

Основная общая особенность и общий исторрический недостаток древневосточной математики — ее преимущественно рецептурный, алгоритмический, вычислительный характер. Математики Древнего Востока даже не пытались доказать истинность тех вычислительных формул, которые они использовали для решения конкретных практических задач. Все такие формулы строились в виде предписаний: «делай так-то и так-то». Потому и учение математике состояло в механическом заучивании и зазубривании веками не изменявшихся способов решения типовых задач. Идеи математического доказательства в древневосточной математике еще не было.

Вместе с тем у древних вавилонян уже складывались отдельные предпосылки становления математического доказательства. Они состояли в процедуре сведения сложных математических задач к типовым задачам, а так же в таком подборе задач, который позволял осуществлять проверку правильности решения.